专题八 错位相减法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题八 错位相减法求数列的前 n项和
基本知识点
错位相减法：若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项
乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前 n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以
公比 q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这
种数列求和的方法称为错位相减法。
例题分析
一、错位相减法在数列中的应用
例1 设数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前 n项和 Sn.
解析　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
∴当 n≥2 时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.②
由①－②，得 3n－1an＝，∴an＝.
在①中，令 n＝1，得 a1＝，符合上式，
∴an＝(nN∈*)．
(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n.
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n.③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.④
由④－③，得 2Sn＝n×3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即2Sn＝n·3n＋1－，
∴Sn＝＋(n∈N*)．
答案 (1) an＝(nN∈*) (2) ＋(n∈N*)
归纳总结：用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准
确地写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q是否等于 1，如果 q＝1，应用公式 Sn＝na1.
(对应训练一)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n项和为 Sn.已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前 n项
和Tn.
解析　(1)设{an}的公比为 q，
由题意知 a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an>0，由以上两式联立方程组解得 a1＝2，q＝2，
所以 an＝2n.
(2)由题意知 S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以 bn＝2n＋1.
令cn＝，则 cn＝.
因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得 Tn＝＋(＋＋…＋)－，
所以 Tn＝5－.
答案 (1) an＝2n (nN∈*) (2) 5－(n∈N*)
(对应训练二)数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n×，求数列{bn}的前 n项和 Sn.
解析 (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得，＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2.
从而 bn＝n×3n.
Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①
3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1
＝.
所以 Sn＝.
答案 (1) 见解析 (2)
(对应训练三)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)证明：由 nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n得－＝1.
又＝5，所以数列是首项为 5，公差为 1的等差数列．
(2)由(1)可知，＝5＋(n－1)×1＝n＋4，所以 Sn＝n2＋4n.
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3.
又a1＝5也符合上式，所以 an＝2n＋3(nN∈*)，
所以 bn＝(2n＋3)2n，
又因为 Tn＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋3)2n，①
2Tn＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n＋(2n＋3)·2n＋1，②
所以②－①得
Tn＝(2n＋3)2n＋1－10－(23＋24＋…＋2n＋1)
＝(2n＋3)2n＋1－10－
＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8)
＝(2n＋1)2n＋1－2.
答案 (1) 见解析 (2) (2n＋1)2n＋1－2
二、错位相减法在函数中的应用
例2 在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线 x－y＋2＝0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知 Tn＝＋＋＋…＋，求 Tn.
解析　(1)由条件知 an－an＋1＋2＝0，∴an＋1－an＝2.
∴数列{an}是以 1为首项，以 2为公差的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋.②
由①－②得 Tn＝＋＋＋…＋－
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