专题55 和平行有关的大题证明（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 55 和平行有关的大题证明

类型一和动点有关

1．如图，已知直线，直线和直线，交于点 C和D，点 A、点 B分别在直线，上，点 P是直

线CD 上的一个动点．

(1)如果点 P运动到 C，D之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由．

(2)若点 P在C，D两点的外侧运动时（P点与点 C，D不重合），，，之间的关系是

否发生改变?请说明理由．

【答案】(1)∠APB＝∠PAC+∠PBD

(2)∠APB＝∠PBD﹣∠PAC 或∠PAC＝∠PBD+∠APB.

【解析】

【分析】

∠APB＝∠PAC+∠PBD.如图（1）所示，过 P点作 PE∥l1，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再

由与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到 PE∥l2，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等

量代换即可得证；

∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，如图（2）所示，过点 P作PE∥l1，同理即可得证；

∠PAC＝∠PBD+∠APB，如图（3）所示，过点 P作PE∥l1，同理即可得证．

(1)

解：∠APB＝∠PAC+∠PBD.

理由为：如图（1），过点 P作PE∥l1，

∴∠APE＝∠PAC，

又∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE＝∠PBD，

∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，

即∠APB＝∠PAC+∠PBD；

(2)

解：分两种情况：

第一种情况，当点 P在直线 l1 的上方时，∠APB＝∠PBD﹣∠PAC

理由为：如图（2），过点 P作PE∥l1，

∴∠APE＝∠PAC，

又∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE＝∠PBD，

∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE，

即∠APB＝∠PBD﹣∠PAC；



第二种情况，当点 P在直线 l2 的下方时，∠PAC＝∠PBD+∠APB，

理由如下：过点 P作PE∥l1，

∴∠APE＝∠PAC，

又∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE＝∠PBD，

∵∠BPE+∠APB＝∠APE，

∴∠PAC＝∠PBD+∠APB．

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．

2．如图，，点 E是直线和直线之间动点．

（1）图 1中，试说明：．

（2）图 2中，当的角平分线与的角平分线交于点 F，请直接写出与的数量关系．

（3）图 3中，当点 E在线段上，的邻补角平分线与的邻补角平分线交于点 F．试判断

与的位置关系，并说明理由．

（4）图 4中，若的邻补角平分线与的邻补角平分线交于点 F，写出与的数量关

系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析；（4）

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