专题54 代数问题的证明（原卷版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 54 代数问题的证明

类型一和数位有关的证明

1．（1）一个两位数，其中 x表示个位上的数字，y表示十位上的数字（x≠0，y≠0）．若把个位、十位上的

数字互换位置得到一个新两位数．则这两个两位数的和一定能被　　整除，这两个两位数的差一定能被

整除；

（2）将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数，恰好与原数相等，我们把这样的正

整数称为“对称数”．例如：4，66，535，1771，23432 分别是一位，两位，三位，四位，五位“对称

数”．

①猜想任意一个四位“对称数”是否都能被 11 整除，并说明理由；

②若一个能被 11 整除的三位“对称数”，其个位上的数字为 x（1≤x≤4），十位上的数字为 y，则 y与x的

数量关系为　　；能被 11 整除的三位“对称数”中，最大数与最小数的差为　　．

2．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整

数22 是两位对称数；正整数 797 是三位对称数；正整数 4664 是四位对称数；正整数 12321 是五位对称数．

根据材料，完成下列问题：

（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________

（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则

这两个两位数的差一定能被 9整除吗？请说明理由．

（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于 10，并且这个四位对称数能被 7整除，请求出

满足条件的四位对称数．

3．阅读下列材料，解决问题：

12345678987654321 这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由 1到9，是连续的自

然数），到数 9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由 9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．

记第一个橄榄数为 a1＝1，第二个橄榄数为 a2＝121，第三个橄榄数为 a3＝12321……有趣的是橄榄数还是一

个平方数，如 1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：

……

根据以上材料，回答下列问题

（1）11111112＝　　；将 123454321 变形为对称式：123454321＝　　．

（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数

相加，就能得到橄榄数 121，求这个两位数．

（3）证明任意两个橄榄数 am，an 的各数位之和的差能被 m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）

4．对于一个两位数（十位和个位均不为 0），将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位

数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个

四位数，记为，规定，例如：34 的对调数为 43，．

（1）填空： ______；

（2）请证明对于任意一个两位数（十位和个位均不为 0），都能够被 9整除；

（3）若（为整数，），（为整数，），和的十位、个位均

不为 0，的对调数与的对调数之和能被 9整除，请求出的值．

类型二和数字规律有关的证明

5．(1)观察下列各式：   ……

你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：

；

(2)请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性.

6．观察下列等式：

①22-1×3=4-3=1；② 32 -2×4=9-8=1；③ 42-3×5="16-15=1" ；④ ；…

（1）请你按以上规律写出第 4个算式；

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？请说明理由．

7．有一组等式：

请观察它们的构成规律，用你发现的规律解答下面的问题：

（1）写出第 8个等式为；

（2）试用含正整数的等式表示你所发现的规律；

（3）说明你在（2）中所写等式成立的理由．

8．观察下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于 )，你发现结果有什么规律?

；

（1）设这两个数的十位数字为，个位数字分别为和，请用含和的等式表示你发现的规律；

（2）请验证你所发现的规律；

（3）利用你发现的规律直接写出下列算式的答案．

；；；．

类型三和式子规律有关的证明

9．观察下列各个等式：

第1个等式： ÷－0=1；

第2个等式： ÷－1= ；

第3个等式： ÷－2= ；

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