专题54 代数问题的证明（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 54 代数问题的证明
类型一 和数位有关的证明
1．（1）一个两位数，其中 x表示个位上的数字，y表示十位上的数字（x≠0，y≠0）．若把个位、十位上的
数字互换位置得到一个新两位数．则这两个两位数的和一定能被 　 　整除，这两个两位数的差一定能被
整除；
（2）将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数，恰好与原数相等，我们把这样的正
整数称为“对称数”．例如：4，66，535，1771，23432 分别是一位，两位，三位，四位，五位“对称
数”．
①猜想任意一个四位“对称数”是否都能被 11 整除，并说明理由；
②若一个能被 11 整除的三位“对称数”，其个位上的数字为 x（1≤x≤4），十位上的数字为 y，则 y与x的
数量关系为 　 　；能被 11 整除的三位“对称数”中，最大数与最小数的差为 　 　．
【答案】（1）11，9；（2）①能，见解答过程；② y=2x，363
【解析】
【分析】
（1）根据题意用 a与b表示这两个两位数，然后列式化简即可求出答案．
（2）①依题意任意一个四位“对称数”的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，设个位
数字为 a，百位数字为 b，列出式子即可求解．
②依题意任意一个三位“对称数”的百位数字与个位数相同，其个位上的数字为 x（1≤x≤4），十位上的数
字为 y，百位数字为 x，列出式子即可求解．
【详解】
解：（1）设该两位数为：10y+x，
对调后，该两位数为：10x+y，
∴这两个数的和为：10y+x+10x+y=11x+11y=11（x+y），
这两个数的差为：10y+x-（10x+y）=9y-9x=9（y-x），
故这两个数的和能够被 11 整除，这两个数的差能够被 9，
故答案为：11，9；
（2）①能被 11 整除，理由如下：
依题意任意一个四位“对称数”的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，设个位数字为
a，百位数字为 b，
则四位“对称数”=1000a+100b+10b+a
=1001a+110b=11×（91a+10b）
因为 a，b为正整数，所以 91a+10b，11×（91a+10b）被 11 整除．
②依题意任意一个三位“对称数”的百位数字与个位数相同，其个位上的数字为 x（1≤x≤4），十位上的数
字为 y，百位数字为 x，
则三位“对称数”=100x+10y+x
=101x+10y=99x+11y+（2x-y）
=11（9x+y）+（2x-y）
因为 11（9x+y）+（2x-y）能被 11 整除，所以 2x-y能被 11 整除，
即2x-y的值为 0或11 或22，又 1≤x≤4，0≤y≤9，所以 2x-y=0，
所以 y=2x，
所有能被 11 整除的三位“对称数”为 121，242，363，484．
最大的”对称数“与最小”对称数“的差为：484-121=363．
故答案为：y=2x，363．
【点睛】
本题考查整式的加减，列代数式，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．
2．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整
数22 是两位对称数；正整数 797 是三位对称数；正整数 4664 是四位对称数；正整数 12321 是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则
这两个两位数的差一定能被 9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于 10，并且这个四位对称数能被 7整除，请求出
满足条件的四位对称数．
【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出最大的两位对称数是 99，最小的三位对称数是 101，求出和；
（2）设个位和千位上的数字是 a，十位和百位上的数字是 b，用 a和b表示出这两个两位数的差，得
，这个数是 9的倍数一定可以被 9整除；
（3）设这个四位数的个位数是 x，将这个四位数用 x表示出来，然后令 x的值为 1到9，求出对应的四位
数的值，找到可以被 7整除的数．
【详解】
解：（1）最大的两位对称数是 99，
最小的三位对称数是 101，
，
故答案是：200；
（2）设个位和千位上的数字是 a，十位和百位上的数字是 b，
则这两位数分别是 、 ，
，
它们的差是 ，
这个数是 9的倍数，所以这个数一定可以被 9整除；
（3）设这个四位数的个位数是 x，则十位数是 ，
这个数可以表示为 ，化简得 ，
令 ，则这个数是 1991，
令 ，则这个数是 2882，
令 ，则这个数是 3773，
……
令 ，则这个数是 9119，
其中只有 3773 能够被 7整除，
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