专题34 因式分解的应用（和非负数及最值有关）（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 34 因式分解的应用（和非负数及最值有关）

1．若的三边长分别为 a、b、c，且，判断的形状．

【答案】是等边三角形

【解析】

【分析】

由题意运用公式法和提取公因式法对进行变形后因式分解，继而可得

则有，即可得出的形状．

【详解】

解：∵ ，

∴ ，

∵ 的三边长分别为 a、b、c，

∴ ，

∴ 即有，即是等边三角形.

【点睛】

本题考查因式分解和等边三角形的性质，熟练掌握运用公式法和提取公因式法分解因式是解题的关键.

2．已知，求的值.

【答案】81.

【解析】

【分析】

把因式分解为再根据平方的

非负性求出 a,b,c 的值即可求解.

【详解】

∵ ，

∴.

∵ ，，，

∴ ∴ ∴ .

【点睛】

此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法.

3．已知，a，b，c是△ABC 的三边，求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

先利用平方差公式分解因式后再利用三角形的三边关系来判断正负．需要注意的是三角形两边和大于第三

边．

【详解】

解：∵(a2＋b2－c2)2－4a2b2

＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab),

＝[(a2＋2ab＋b2)－c2][(a2－2ab＋b2)－c2],

＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2],

＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)，

∵a，b，c是△ABC 的三边，

∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a－b＋c＞0，

∴(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0.

【点睛】

本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了三角形三边之间的关系，同时还隐含了整体的数学思想和

正确运算的能力．

4．阅读材料：若 m22mn+2n﹣24n+4﹣＝0，求 m，n的值，

解：∵m22mn+2n﹣24n+4﹣＝0，

∴（m22mn+n﹣2）+（n24n+4﹣）＝0，

∴（m n﹣）2+（n 2﹣）2＝0，

∵（m n﹣）2≥0；（n 2﹣）2≥0，

∴（m n﹣）2＝0，（n 2﹣）2＝0，

∴n＝2，m＝2．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）a2+b2+6a 2b+10﹣＝0，则 a＝　　，b＝　　；

（2）已知 x2+2y22xy+8y+16﹣＝0，求 xy的值；

解：（1）由：a2+b2+6a 2b+10﹣＝0，得：

（a+3）2+（b 1﹣）2＝0，

∵（a+3）2≥0，（b 1﹣）2≥0，

∴a+3＝0，b 1﹣＝0，

∴a＝﹣3，b＝1

故答案为：﹣3,1；

（2）由 x2+2y22xy+8y+16﹣＝0得：

（x y﹣）2+（y+4）2＝0，

∴x y﹣＝0，y+4＝0，

∴x＝y＝﹣4，

∴xy＝（﹣4）﹣4＝；

5．阅读材料：若，求 m、n的值．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b、c都是正整数，并满足

求c的值．

（2）已知 a、b、c是的三边长，且满足，试判断的形状．

（3）试探究关于 x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时 x、y的

值；若不存在，说明理由．

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