专题33 综合法分解因式四类型（原卷版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 33 综合法分解因式四类型
类型一 和配方有关的因式分解
1．（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方
公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法．例如，要因式分解
，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法.这时，我们可以采用下面的办法：
＝
＝
上述解题运用了转化的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显
然上述因式分解并未结束,请补全 的因式分解；
（2）【实战演练】用配方法因式分解 ；
（3）【拓展创新】请说明无论 取何值，多项式 的值恒小于 .
2．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：用配方法分解因式： ．
解原式
．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式 x2+2xy-3y2
(2)若M=2x2+8x+10，求 M的最小值；
(3)已知 x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，求 x+y+z的值．
3．阅读下内容，再解决问题．
在把多项式 m24﹣mn 12﹣n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全
平方公式进行分解：
m24﹣mn 12﹣n2＝m24﹣mn+4n24﹣n212﹣n2＝（m2﹣n）216﹣n2＝（m6﹣n）（m+2n），像这样构造完全平
方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．
（1）把多项式因式分解：a26﹣ab+5b2；
（2）已知 a、b、c为△ABC 的三条边长，且满足 4a24﹣ab+2b2+3c24﹣b12﹣c+16＝0，试判断△ABC 的形状．
类型二 和换元有关的因式分解
4．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分
解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的
方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x 9﹣）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．
解：设 x2+3x＝y
原式＝（y 9﹣）（y+1）+25（第一步）
＝y28y+16﹣（第二步）
＝（y 4﹣）2（第三步）
＝（x2+3x 4﹣）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4进行因式分解．
5．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式（x2﹣
4x+2）（x24﹣x+6）+4 进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设 x24﹣x=y．
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x24﹣x+4）2（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了　　（填选项）；
A．提取公因式法
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）第四步的结果继续因式分解得到结果为　　；
（3）请你模仿以上方法对多项式（x2+6x）（x2+6x+10）+25 进行因式分解．
6．阅读下列材料：
材料 1：将一个形如 x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn 且p＝m＋n则可以把 x²＋px
＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x24﹣x12﹣＝（x﹣
6）（x＋2）．
材料 2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令 xy＝A，则原式＝A²＋2A
＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料 1，把 x2＋2x24﹣分解因式；
（2）结合材料 1和材料 2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）² 8﹣（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m2﹣）（m² 2﹣m2﹣）﹣3
7．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下
面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的
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