专题33 综合法分解因式四类型（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 33 综合法分解因式四类型

1．（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方

公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法．例如，要因式分解

，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法.这时，我们可以采用下面的办法：

＝

上述解题运用了转化的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显

然上述因式分解并未结束,请补全的因式分解；

（2）【实战演练】用配方法因式分解；

（3）【拓展创新】请说明无论取何值，多项式的值恒小于 .

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）先配方，再利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法得到 =(x+2)2-1，然后利用平方差公

式分解即可；（3）利用配方法得到 =，根据平方的非负数性质即可得答案.

【详解】

(1) =

（2）

（3）

∵ ≥0，

∴ ≤ < .

【点睛】

本题考查了因式分解的应用,灵活应用配方法及平方的非负性是解题关键.

2．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．

如：用配方法分解因式：．

解原式

．

请根据以上材料解决下列问题：

(1)用配方法分解因式 x2+2xy-3y2

(2)若M=2x2+8x+10，求 M的最小值；

(3)已知 x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，求 x+y+z的值．

【答案】(1)

(2)M的最小值为 2；

(3)4

【解析】

【分析】

（1）将原式变形为 x2+2xy+y2-y2-3y2，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；

（2）原式通过配方，然后根据偶次幂的非负性求其最小值；

（3）将原式整理为（x2+4y2-4xy）+（y2-4y+4）+（z2+2yz+y2）=0，然后利用完全平方公式进行变形，从而利

用偶次幂的非负性求得 x，y，z的值，从而代入求值．

(1)

解：x2+2xy-3y2

=x2+2xy+y2-y2-3y2

=（x+y）2-4y2

=（x+y+2y）（x+y-2y）

=（x+3y）（x-y）；

(2)

解：M=2x2+8x+10

=2（x2+4x）+10

=2（x2+4x+4）-8+10

=2（x+2）2+2，

∵（x+2）2≥0，

∴M的最小值为 2；

(3)

解：x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，

整理得：（x2+4y2-4xy）+（y2-4y+4）+（z2+2yz+y2）=0，

即（x-2y）2+（y-2）2+（z+y）2=0，

∵（x-2y）2≥0，（y-2）2≥0，（z+y）2≥0，

∴x-2y=0，y-2=0，z+y=0，

解得：x=4，y=2，z=-2，

则x+y+z=2+4+（-2）=4．

【点睛】

本题考查了整式的运算与因式分解，理解偶次幂的非负性，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和平方

差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．

3．阅读下内容，再解决问题．

在把多项式 m24﹣mn 12﹣n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全

平方公式进行分解：

m24﹣mn 12﹣n2＝m24﹣mn+4n24﹣n212﹣n2＝（m2﹣n）216﹣n2＝（m6﹣n）（m+2n），像这样构造完全平

方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．

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