专题31 十字相乘法因式分解（原卷版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 31 十字相乘法因式分解

【最基础最核心】

1．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出

，用上述方法将下列各式因式分解：

(1) __________．

(2) __________．

(3) __________．

(4) __________．

2．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，．反过来，就得到

的因式分解形式，即．把这个多项式的二次项系数 1分解为，常

数项 10 分解为，先将分解的二次项系数 1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把，

分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次

项系数（如图 1）．

像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们

分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这

种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

例如，将二次三项式分解因式，它的“十字”如图 2：

所以，．

请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：

(1) 　　；

(2) 　　；

(3) 　　．

3．探究：如何把多项式 x2+8x+15 因式分解？

（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；

（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使

用，即可对形如 x2+（a+b）x+ab 的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

此类多项式 x2+（a+b）x+ab 的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．

猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）

（3）上面多项式 x2+8x+15 的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．

（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12

【越战越勇技能提升】

4．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进

行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．

示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．

（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）；

（2）应用：请用上述方法解方程：

①x23﹣x4﹣＝0；

②x27﹣x+12＝0．

5．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：

∴原式

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