专题26 二次根式双重非负性的运用（解析版） -2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 26 二次根式双重非负性的运用（解析版）
第一部分典例剖析及针对训练
类型一 利用 （a≥0）求值
典例 1 （温州校级自主招生）已知 y
¿−❑
√
1
x −2
，则在直角坐标系中，点 P（x，y）所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路点拨：根据二次根式和分式的性质分别求得 x、y的取值范围，然后根据横轴坐标的符号确定点 P
的位置．
解：要使得 y
¿−❑
√
1
x −2
有意义，则 x2﹣＞0，
∴x＞2，
∴y
¿−❑
√
1
x −2
＜
0，
∴点 P（x，y）位于第四象限．
故选：D．
点睛：本题考查了二根式有意义的条件和点的坐标的知识，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确
定x、y的符号．
典例 2 （2021 春•单县期末）若 a，b都是实数，且 b
¿❑
√
a −3+❑
√
3− a+¿
8，则 ab+1 的平方根为 　 　 ．
思路点拨：根据二次根式有意义的条件可得：
{
a −3≥0
3− a ≥ 0
)
，再解可得 a的值，然后可得 b的值，进而可
得ab+1 的平方根．
解：由题意得：
{
a −3≥0
3− a ≥ 0
)
，
解得：a＝3，
则b＝8，
∴ab+1＝25，
25 的平方根为±5，
故答案为：±5．
点睛：此题主要考查了二次根式的意义的条件，以及平方根，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负
数．
针对训练 1
1．（2020 秋•崇川区校级月考）已知 a，b为实数，且
，求 a2020﹣b2021 的值．
思路点拨：由已知条件得到
❑
√
1+a+¿
（1﹣b）
❑
√
1− b=¿
0，利用二次根式有意义的条件得到 1﹣b≥0，
再根据几个非负数和的性质得到 1+a＝0，1﹣b＝0，解得 a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算 a2020
﹣b2021 的值．
解：∵
❑
√
1+a −(b −1)❑
√
1− b=0
，
∴
❑
√
1+a+¿
（1﹣b）
❑
√
1− b=¿
0，
∵1﹣b≥0，1+a≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得 a＝﹣1，b＝1，
∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020 1﹣2021＝1 1﹣＝0．
点睛：本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于 0时，各项都等于 0，利用
此性质列方程解决求值问题．
2．（2021 春•临淄区期中）设 x、y均为实数，且 y
¿
❑
√
x2−3+❑
√
3− x2
❑
√
1− x +¿
2，求
y
x+x
y
的值．
思路点拨：根据二次根式的有意义的条件求出 x的值，代入已知式子求出 y的值，代入计算即可．
解：由题意得，x23≥0﹣，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，
解得，x
¿−❑
√
3
，
则y＝2，
y
x+x
y=−
❑
√
3
2−2
❑
√
3=−7
6
❑
√
3
．
点睛：本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数的
解题的关键．
类型二 化简形如 的式子
典例 2（高新区校级月考）化简：
❑
√
x2−6x+9+¿
（　　）
A．2x6﹣B．0 C．6 2﹣xD．2x+6
思路点拨：直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：由题意可得：3﹣x≥0，
则原式＝3﹣x+3﹣x＝6 2﹣x．
故选：C．
点睛：此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
典例 3（南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知 m为实数，化简：
−❑
√
−m3−m❑
√
−1
m
解：原式
¿− m❑
√
− m− m⋅1
m
❑
√
− m
¿(−m− 1)❑
√
− m
．
思路点拨：根据二次根式的性质，m
❑
√
−1
m
成立，则 m为负数，由此可先判断已知解答是错误的，再化
简解答即可．
解：不正确，
根据题意，m
❑
√
−1
m
成立，则 m为负数，
−❑
√
−m3−m❑
√
−1
m
＝m
❑
√
−m +❑
√
−m2
m
＝m
❑
√
−m +❑
√
− m
＝（m+1）
❑
√
−m
．
点睛：本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据
❑
√
−1
m
成立，则 m为负数，要求熟练掌
握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
针对训练 2
3．（2021 春•延津县期中）已知实数 a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b1|﹣
−❑
√
¿¿
的结果为（
　）
A．2bB．2b2﹣C．﹣2 D．﹣2a+2
思路点拨：由数轴可知：a＜﹣1＜0＜1＜b，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
解：由数轴可知：a＜﹣1＜0＜1＜b，
∴b1﹣＞0，a+1＜0，a﹣b＜0，
∴原式＝|b1| |﹣ ﹣ a+1|+|a﹣b|
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