专题23 四点共圆-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题二十三 四点共圆
【导例】如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D在BA 延长线上，点 E在BC 边上，
∠CAE=2∠ACD，∠BAE=60°．求证：A，E，C，D四点共圆．
证明：如图，
在△ABC 中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAC=2∠ACB，
∵∠CAE=2∠ACD，
∴∠CAD+∠CAE=2∠ACB+2∠ACD=2（∠ACB+∠ACD），
∴∠DAE=2∠BCD，
∵∠BAE=60°，
∴∠DAE=180°-∠BAE=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠DAE+∠DCB=180°，
∴点A，E，C，D四点共圆.
【方法点睛】
如何判断四点共圆：
①四边形对角互补
②借助同弦所对的圆周角相等，如：∠ADB= ACB∠，可判断 ADCB 四点共圆.
借助四点共圆，能轻松得出构成同弦的圆周角相等.
【典例精讲】
【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=72°，求∠CAD
的度数.
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，点 B，点 C，点 D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD=72°，
∴∠CAD=90°-∠ACD=18°.
【例 2】如图，若 D为等腰 Rt△ABC 的边 BC 上一点，且
DE⊥AD，BE⊥AB，AD=2，求 AE 的长.
解：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵DE⊥AD，BE⊥AB，
∴∠ADE= ABE=90°∠，
∴A,D,B,E 四点共圆，
∴∠AED= ABD=45°.∠
在△ADE 中，∠ADE=90°，∠AED=45°，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
AE=
AD
sin 45 °
=2
❑
√
2
.
【专题过关】
1. 如图，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=____.
55°
解：∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-60°-65°=55°.
2. 如图，△ABC 中，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，且∠ADC=120°．求证：
AD=DC．
证明：∵∠ABC+∠ADC=60°+120°=180°
∴点A，点 B，点 C，点 D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ACD=∠DAC
∴AD=DC，
3. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D是BC 中点，
∠CAD=∠CBE，求 AE 的长度.
解：如图，连接 DE，
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