专题23 反比例函数与一次函数的综合（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 23 反比例函数与一次函数的综合（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 利用对称性解题
典 例 1（2021 秋 • 瑶 海 区 校 级 期 中 ） 如 果 一 个 正 比 例 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y
¿4
x
的 图 象 交 于
A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　 　 ．
思路点拨：正比例函数与反比例函数 y
¿4
x
的两交点坐标关于原点对称，依此可得 x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
将（x2﹣x1）（y2﹣y1）展开，依此关系即可求解．
解：∵正比例函数的图象与反比例函数 y
¿4
x
的图象交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，
依此可得 x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
＝x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
＝x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
点睛：本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，知道正比例函数与反比例函数的两交点坐标关
于原点对称是解题的关键．
针对训练 1
1．（2021 春•邗江区期末）已知正比例函数 y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数 y
¿k2
x
（k2≠0）的图象有一
个交点的坐标为（2，﹣5），则这两个函数图象的另一个交点的坐标是　 　．
思路点拨：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵正比例函数 y＝k1x（k1≠0）与反比例函数 y
¿k2
x
（k2≠0）的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标（2，﹣5），可得另一个交点的坐标是（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
2．（2022•合肥一模）如图，一次函数 y＝kx 与反比例函数
y=k
x
上的图象交于 A，C两点，AB∥y轴，
BC∥x轴，若△ABC 的面积为 4，则 k＝　 　 ．
思路点拨：设AB 交x轴于点 D，由正比例函数与反比例函数的对称性可得 DO 为△ABC 中位线，从而
可得 S△ABC＝4S△ADO，进而求解．
解：设 AB 交x轴于点 D，
由反比例函数系数的几何意义可得 S△ADO 的面积为
，
由函数的对称性可得点 O为AC 中点，即 DO 为△ABC 中位线，
∴
S△ADO
S△ABC
=1
4
，
∴S△ABC＝4S△ADO＝2|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
点睛：本题考查反比例函数系数 k的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质．
类型二 判断函数图像
典例 2（2021 秋•岱岳区期末）反比例函数 y
¿ab
x
与一次函数 y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（
）
A．B．C．D．
思路点拨：根据一次函数图象判定 a、b的符号，根据 ab 的符号判定反比例函数图象所在的象限．
解：A、一次函数 y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则 a＞0，与 y轴交于负半轴，则 b＜0，所以 ab＜
0，则反比例 y
¿ab
x
经过第二、四象限，不符合题意；
B、一次函数 y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则 a＜0，与 y轴交于负半轴，则 b＜0，所以 ab＞0，
则反比例 y
¿ab
x
经过第一、三象限，不符合题意；
C、一次函数 y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则 a＜0，与 y轴交于正半轴，则 b＞0，所以 ab＜0，
则反比例 y
¿ab
x
经过第二、四象限，不符合题意；
D、一次函数 y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则 a＞0，与 y轴交于负半轴，则 b＜0，所以 ab＜0，
则反比例 y
¿ab
x
经过第二、四象限，符合题意；
故选：D．
点睛：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
针对训练 2
3．（2021 秋•龙泉驿区期末）在同一平面直角坐标系中反比例函数 y
¿3
x
与一次函数 y＝x+3 的图象大致是
（　　）
A．B．C．D．
思路点拨：直接利用反比例函数以及一次函数性质分析得出答案．
解：∵反比例函数 y
¿3
x
中，3＞0，
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