专题22 构造平行线活用相似比-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题二十二 构造平行线活用相似比
【导例】如图，正方形 ABCD 中，点 F在边 AB 上，且 AF：FB＝1：2，AC 与DF 交于点
N．
（1）当 AB＝4时，AN＝　　．
（2）S△ANF：S四边形 CNFB＝　　．（S表示面积）
【解析】（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AFN∽△CDN，
∴
AF
CD =AN
CN
，
∵AF：FB＝1：2，AF+BF＝AB，
∴AF：AB＝1：3，
∴
AF
CD =AN
CN
＝
1
3
，
∵AB＝4，AC 是正方形 ABCD 的对角线，
∴AC＝4
❑
√
2
，
又AN+CN＝AC，
∴AN＝
1
4
AC＝
❑
√
2
，
故答案为：
❑
√
2
；
（2）由（1）得△AFN∽△CDN，且 AN：CN＝1：3，
∴S△AFN：S△CDN＝1：9，
∴S△CDN＝9S△AFN，
又FN：DN＝1：3，
∴S△AFN：S△ADN＝1：3，
∴S△ADN＝3S△AFN，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CDN+S△ADN＝12S△AFN，
∴S四边形 CNFB＝S△ABC﹣S△AFN＝11S△AFN，
∴S△ANF：S四边形 CNFB＝1：11，
故答案为：1：11．
【方法点睛】
部分求斜线段长度或两条斜线段比例，往往通过构造平行线型相似求解.
如图，若 DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”型，图②为“X”型，它们都是平
行线型的基本图形.当图中存在相应线段之比时，往往考虑作平行线，得相似（构造 X型、
A型），如图③
说明：作平行线，可以利用平行线分线段成比例转换线段比，或者利用相似三角形形的性
质转化对应线段之比
E
【典例精讲】
【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F是AD 上的点，AF＝2FD，直线 BF 交AC 于
点E，BE 交CD 的延长线于点 G，则
的值为 　　．
【答案】
2
3
【解析】由AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴
AE
EC =AF
BC =2
3
∴
BE
EG =AE
EC =2
3
.
变式训练
1.平行四边形 ABCD 如图所示，E为AB 上的一点，F、G分别为 AC 与DE、DB 的交点．若
AB：AE＝3：2，则四边形 BGFE 与▱ABCD 的面积之比为（　　）
A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26
【解析】解：∵AB：AE＝3：2，
∴BE：AB＝1：3，
∴S△DBE＝
1
3
S△ABD＝
1
6
S▱ABCD，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
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