专题22 反比例函数与几何图形的综合（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 22 反比例函数与几何图形的综合（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 反比例函数与平行四边形
典例 1 （2021 秋•覃塘区期末）如图，点 O为坐标原点，点 A在双曲线 y
¿1
x
（x＞0）上，点 B在双曲线 y
¿5
x
（x＞0）上，点 C在x轴的正半轴上，若四边形 OABC 是平行四边形，则四边形 OABC 的面积为
．
思路点拨：设点 A坐标为（m，
1
m
），由点 B在双曲线 y
¿5
x
（x＞0）上，四边形 OABC 是平行四边形可
得点 B坐标，进而求解．
解：设点 A坐标为（m，
1
m
），
∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴AB∥AC，
∴点 B纵坐标为
1
m
，
将y
¿1
m
代入 y
得
1
m=5
x
，
解得 x＝5m，
∴点 B坐标为（5m，
1
m
），
∴四边形 OABC 的面积为（5m﹣m）
1
m=¿
4，
故答案为：4．
点睛：本题考查反比例函数与平行四边形的结合，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握平行四边形
的性质．
针对训练 1
1．（2022•鄞州区校级开学）如图，反比例函数 y
¿k
x
（k≠0）过平行四边形 OABC 的顶点 C和AB 的中点
D，若 CB＝CD＝3，则 k的值为（　　）
A．8 B．4
❑
√
5
C．9 D．4
❑
√
6
思路点拨：设C（x，
k
x
），由 CB＝3得到点 B（x+3，
k
x
），A（3，0），由点 D是AB 的中点得到点 D
的坐标为（
x
2+3
，
k
2x
），再由点 D在反比例函数 y
¿k
x
（k≠0）的函数图象上列出方程求得 x的值，得
到点 C和点 D的坐标，最后由 CD＝3求得 k的值．
解：设 C（x，
k
x
），
∵CB＝3，四边形 OABC 是平行四边形，
∴OA＝BC＝3，
∴点 B（x+3，
k
x
），A（3，0），
∵点 D是AB 的中点，
∴点 D的坐标为（
x
2+3
，
k
2x
），
∵点 D在反比例函数 y
¿k
x
（k≠0）的函数图象上，
∴（
x
2+3
）
×k
2x=¿
k，
解得：x＝2，
∴点 C的坐标为（2，
k
2
），点 D的坐标为（4，
k
4
），
∵CD＝3，
∴
❑
√
22+¿¿
3，
解得：k＝4
❑
√
5
，
故选：B．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、两点间的距离公式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关
键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
2．（2022•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形 ABCD 的边 AB 在x轴上、
顶点 D在y轴的正半轴上，点 C在第二象限，将△AOD 沿y轴翻折，使点 A落在 x轴上的点 E处、点 B
恰好为 OE 的中点．DE 与BC 交于点 F．若 y
¿k
x
（k≠0）图象经过点 C，且 S△BEF
¿1
2
，则 k的值为 　　．
思路点拨：设点 A坐标为（2a，0），点 D坐标为（0，4d），可得点 C坐标，由 B为OE 的中点，四边
形ABCD 为平行四边形及 S△BEF
¿1
2
，可得 ad 的值，进而求解．
解：∵B为OE 的中点，
∴EB＝OB
¿1
2
EO
¿1
2
AO，
∴EB
¿1
3
AB，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴CD＝BA，CD∥EA，
∴设点 A坐标为（2a，0），点 D坐标为（0，4d），
∴点 C坐标为（﹣3a，4d），点 E坐标为（﹣2a，0），点 B坐标为（﹣a，0），
∵S△BEF～S△DFC，且
BE
CD =1
3
，
∴
BF
FD =1
3
，
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