专题21 反比例函数中比例系数k的几何意义（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 21 反比例函数中比例系数 k 的几何意义（解析版）
第一部分 典例剖析及针对练习
类型一 已知系数 k求图形面积
典例 1 （郴州中考）如图，A，B是反比例函数 y
¿4
x
在第一象限内的图象上的两点，且 A，B两点的横坐标
分别是 2和4，则△OAB 的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
思 路 点 拨 ： 先 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 及 A，B两 点 的 横 坐 标 ， 求 出
A（2，2），B（4，1）．再过 A，B两点分别作 AC⊥x轴于 C，BD⊥x轴于 D，根据反比例函数系数 k
的几何意义得出 S△AOC＝S△BOD
¿1
2×
4＝2．根据 S四边形 AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形 ABDC，得出 S△AOB
＝S梯形 ABDC，利用梯形面积公式求出 S梯形 ABDC
¿1
2
（BD+AC）•CD
¿1
2
（1+2）×2＝3，从而得出 S△AOB＝
3．
解：∵A，B是反比例函数 y
¿4
x
在第一象限内的图象上的两点，且 A，B两点的横坐标分别是 2和4，
∴当 x＝2时，y＝2，即 A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即 B（4，1）．
如图，过 A，B两点分别作 AC⊥x轴于 C，BD⊥x轴于 D，则 S△AOC＝S△BOD
¿1
2×
4＝2．
∵S四边形 AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形 ABDC，
∴S△AOB＝S梯形 ABDC，
∵S梯形 ABDC
¿1
2
（BD+AC）•CD
¿1
2
（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．
点睛：本题考查了反比例函数
中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐
标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系即 S
¿1
2
|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯
形的面积．
典例 2（2020•滨州）如图，点 A在双曲线 y
¿4
x
上，点 B在双曲线 y
¿12
x
上，且 AB∥x轴，点 C、D在x轴上，
若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
思路点拨：根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S＝|k|
即可判断．
解：延长 BA 交y轴于 E，则 BE⊥y轴，
∵点 A在双曲线 y
¿4
x
上，
∴四边形 AEOD 的面积为 4，
∵点 B在双曲线 y
¿12
x
上，且 AB∥x轴，
∴四边形 BEOC 的面积为 12，
∴矩形 ABCD 的面积为 12 4﹣＝8．
故选：C．
点睛：本题主要考查了反比例函数 y
¿k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x轴、y轴垂线，所
得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k
的几何意义．
针对训练 1
1．（2020 秋•平度市期末）如图，点 A在反比例函数 y1
¿18
x
（x＞0）的图象上，过点 A作AB⊥x轴，垂足
为B，交反比例函数 y2
¿6
x
（x＞0）的图象于点 C，P为y轴上一点，连接 PA，PC，则△APC 的面积为
．
思路点拨：连接 OA 和OC，利用三角形面积可得△APC 的面积等于△AOC 的面积，再结合反比例函数
中系数 k的几何意义，利用 S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC，可得结果．
解：连接 OA 和OC，
∵点 P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC 和△APC 面积相等，
∵点 A在反比例函数 y1
¿18
x
（x＞0）的图象上，点 C在反比例函数 y2
¿6
x
（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
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