专题21 二次函数（含参）区间上的最值问题-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）
专题二十一 二次函数（含参）区间上的最值问题
【导例】已知二次函数 y=-x2+4x-1，且-1≤x≤1，下列说法正确的是（ ）
A．此函数的最大值为 3
B．当 x=-1 时，函数有最大值-6
C．函数 y的取值范围是 2≤y≤3
D.函数 y的取值范围是-6≤y≤2
【答案】D
【解析】二次函数 y=-x2+4x-1 化为顶点式 y=-（x-2）2+3，
画出大致图象如下，可知对称轴为直线 x=2，函数图象在对称轴的左边，
此时 y随x的增大而增大，故当 x=-1 时，ym i n =-6，当 x=1 时，ym a x =2.
【方法点睛】
二次函数在给定的区间中的最值问题，需要明确的条件有：
对称轴是否在区间上；
①若对称轴不在区间上，则在端点处分别取得最大值和最小值；
②若对称轴在区间上，顶点处必定为其中一个最值，另外一个最值需要两端点的值进
行比较
【典例精讲】
一、动轴定区间
【例 1】已知二次函数 y=x2-2ax+5，当 3≤x≤7 时，y在x=7 取得最大值，则实数 a的
取值范围是_______.
【答案】a≤5
【解析】抛物线 y=x2-2ax+5 对称轴为直线 x=a，且开口向上，
∴x＞a时，y随x增大而增大，x小于 a时y随x增大而减小，
当7-a≥a-3 时，a≤5 满足题意，
当a≤3 时满足题意，
∴a≤5．
二、定轴动区间
【例 2】已知抛物线 F：y=x2-2x+2，当 m≤x≤m+1 时，求函数 y的最小值和最大值
（用含 m的代数式表示）.
【解析】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，开口向上，对称轴为 x=1，
① 当 m+1＜1时即 m＜0，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴当 x=m 时，ym a x =m2-2m+2，当 x=m+1 时，ym i n = m2+1，
② 当 0≤m＜
1
2
时，1≤m+1＜
3
2
，对称轴 x=1 取得最小值，
∴当 x=1 时，ym i n =1，当 x=m 时，ym a x = m2-2m+2
③当
1
2
＜m≤1 时，
3
2
＜m+1≤2，对称轴 x=1 取得最小值，
∴当 x=1 时，ym i n =1，当 x=m+1 时，ym a x = m2+1
④ 当 m＞1时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴当 x=m+1 时，ym a x =m2+1，当 x=m 时，ym i n = m2-2m+2.
三、对称轴与区间有关联
【例 3】（
2021•
长春节选）
在平面直角坐标系中，抛物线 y=2（x-m）2+2m（m为常
数）的顶点为 A．当 x≤2m 时，若函数 y=2（x-m）2+2m 的最小值为 3，求 m的值.
【解析】∵当 x≤2m 时，若函数 y=2（x-m）2+2m 的最小值为 3，
∴分两种情况：2m＜m，即 m＜0时，或 2m＞m，即 m＞0时，
① 当 m＜0时，2（2m-m）2+2m=3，
解得：m=
−1+❑
√
7
2
（舍）或 m=-
1+❑
√
7
2
，
② 当 m＞0时，2（m-m）2+2m=3，
解得：m=
3
2
，
综上所述，m的值为
3
2
或-
1+❑
√
7
2
.
【专题过关】
1. 关于 x的二次函数 y=（x-h）2+3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 4，则 h的值为___
_.
【答案】0或4
【解析】∵二次函数的对称轴为：直线 x=h，
∴分为 3种情况．
①当 h＜1时，当 1≤x≤3 时，y随x的增大而增大，
∴当x=1 时取最小值，即：（1-h）2+3=4，
解得：h1=0，h2=2．
由h＜1．得：h=0；
②当1≤h≤3 时，y的最小值为顶点值，
∵3≠4，
∴1≤h≤3 时，h无解；
③当h＞3时，当 1≤x≤3 时，y随x的增大而减小，
∴当x=3 时取最小值，
即：（3-h）2+3=4，
解得：h1=2，h2=4，
∵h＞3，
∴h=4；
综上所述，h=0 或4，
2.在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x22﹣x+2 在点
A（2，2）右侧的部分沿着直线 y＝2
翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象 G．
（1）在如图的平面直角坐标系中画出图象 G．
（2）直接写出图象 G对应函数的表达式，
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