专题20 和分式有关的规律性问题探究（解析版）--2021-2022学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 20 和分式有关的规律性问题探究
最基础最核心
1．一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ）,则第 个式子是______（ 为正
整数）.
【答案】 .
【详解】
试题分析：观察给出的一列数，发现这一列数的分母 a的指数分别是 1、2、3、4…，与这列数的项数相同，
故第 n个式子的分母是 an；这一列数的分子 b的指数分别是 2、5、8、11，…即第一个数是 3×1-1=2，第二
个数是 3×2-1=5，第三个数是 3×3-1=8，第四个数是 3×4-1=11，…每个数都比项数的 3倍少 1，故第 n个式
子的分子是 b3n-1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第
n个式子的符号为（-1）n．
试题解析：第 n个式子是 .
考点：规律型：数字的变化类．
2．将 ， ， ，… ，依次代入 得到 ， ， … ，那
么__________．
【答案】100.
【分析】
用m表示 n，然后化简 ，再分别表示 ，再求和即可.
【详解】
解：分析可知 n= ，
∴n+1= +1= ，
∴= =1- ，
∴= +1- ，= +1- ，= +1- ，…， = +1- ，
∴+ + +…+ -（ ）+100=100
故答案是：100.
【点睛】
本题考查了分式的规律性问题，逐个计算找到规律是解题关键，体现了由特殊到一般的数学思想.
3．给定一列分式：
5a3
2b
、
−11 a5
5b2
、
23 a7
8b3
、
−47 a9
11 b4
、……（
a ≠ 0
，
b ≠ 0
），则第五个分式是______
____________ ，第
个分式是__________________ ；
【答案】
95 a11
14 b5
(−1)n+1(3×2n−1)a2n+1
(3n−1)bn
【解析】
根据给定这列分式的规律可得第五个分式为
95 a11
14 b5
，观察可得在奇数个数的位置上的分式为正，偶数个数
的位置上的分式为负，可得分式前面的系数为
(−1)n+1
，分别观察分子、分母的系数和 b的指数，即可得第
n个分式为
(−1)n+1(3×2n−1)a2n+1
(3n−1)bn
.
点睛：本题是找规律性的题目，需要同学们认真读题发现规律，利用规律．
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4．观察下列等式：1﹣＝1× ，2﹣＝2× ，3﹣＝3× ，…
（1）试写出第 5个等式；
（2）写出第 n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1） ；（2）n﹣＝ ，证明见解析．
【分析】
（1）根据已知的等式即可写出第 5个等式；
（2）根据已知的等式即可写出第 n个等式，再根据分式的运算法则即可验证．
【详解】
解：（1）∵1﹣＝1× ，2﹣＝2× ，3﹣＝3× ，…，
∴第 5个等式是： ；
（2）1﹣＝1× ，2﹣＝2× ，3﹣＝3× ，…，
∴第 n个等式是 n﹣＝ ，
证明：左边＝
＝
＝
＝ ＝右边，
即n﹣＝ 成立．
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子写出第 n个等式．
5．观察下列等式：
， ， ，……
（1）请写出第四个等式： ；
（2）观察上述等式的规律，猜想第 n个等式（用含 n的式子表示），并证明其正确性．
【答案】（1）4- =42×；（2）第 n个等式是 ，见解析．
【分析】
（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是 1、2、3，减数的分母分别是 、
、 ，减数的分子分别是 ， ， ，差分别是被减数的平方和以减数的
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