专题20 反比例函数与四边形-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题二十 反比例函数与平行四边形
【导例】
1. 如图，▱OABC 的边 OA 在x轴上，C（1，2），A（3，0），双曲线 y=
k
x
（x
＞0）经过点 B，求 k的值．
【解析】解：∵A（3，0），
∴OA=3，
∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴BC∥OA，OA=BC=3，
∵C（1，2），
∴B（4，2），
∵双曲线 y=
k
x
（x＞0）经过点 B，
∴k=4×2=8．
【方法点睛】
平行四边形各点在平面直角坐标系的表示特征，与坐标系中的平移相结合.
①若一边与 x（y）轴平行，则对边的纵（横）坐标一致.
②结合平行四边形对边平行，我们可以看作是平移的路径.
③平行四边形对角线的性质：交点为对角线中点.
【典例精讲】
【例 1】如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，A点在反比例函数 y=
k
x
（k
＞0）第一象限的图象上，C点在 x轴的正半轴上，以 OA，OC 为边作平行四边形
OABC，且 OA=5，cos∠ABC=
3
5
．
（1）求 k的值．
（2）过点 B作x轴的垂线，垂足为点 D，交反比例函数 y=
k
x
（k＞0）的图象于点
E，若 BE=2DE，求 E点坐标．
【解析】
（1）∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵cos∠ABC=
3
5
，
∴cos∠AOC=
3
5
，
作AM⊥OD 于M，
∴
OM
OA
=
3
5
，
∵OA=5，
∴OM=3，
∴AM=
=
❑
√
52−32
=4，
∴A（3，4），
∵A点在反比例函数 y=
k
x
（k＞0）第一象限的图象上，
∴k=3×4=12；
（2）∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴AB∥OC，
∵AM⊥OC，BD⊥AC，
∴BD=AM=4，
∵BE=2DE，
∴DE=
4
3
，
∴E的纵坐标为
4
3
，
把y=
4
3
代入 y=
12
x
，
解得，x=9，
∴E（9，
4
3
）．
【例 2】如图，平面直角坐标系 xOy 中，▱OABC 的边 OC 在x轴上，对角线
AC，OB 交于点 M，函数 y=
k
x
（x＞0）的图象经过点 A（3，4）和点 M．
（1）求 k的值和点 M的坐标；
（2）求▱OABC 的周长．
【解析】（1）∵点 A（3，4）在 y=
k
x
上，
∴k=12，
∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴AM=MC，
∴点 M的纵坐标为 2，
∵点 M在y=
12
x
的图象上，
∴M（6，2）．
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