专题20 立体几何中垂直问题的证明（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 20 立体几何中垂直问题的证明
先把下面有关垂直的三类知识点记忆下来，越熟练越好；然后学习后面的 20 道专题，边学习
边思考每道题目使用了哪些知识点。
证明直线与直线垂直：
1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直
线垂直最常用的方法。
2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
3、三垂线定理及其逆定理。
4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。
5、等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。
6、菱形对角线互相垂直。
7、矩形的相邻两边垂直。
8、全等或相似三角形中的垂直；具体内容见专题。
v证明直线与平面垂直：
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。
v证明平面与平面垂直：
1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在的平面互相垂直。
3、直棱柱的底面垂直于侧面。
温馨提醒：凡是使用三垂线定理或其逆定理证明直线与直线垂直，都可以换成使用直线与平
面垂直的性质证明直线与直线垂直，如果你没有学过三垂线定理，请使用线面垂直的性质证
明直线与直线垂直。
题型一 直线与平面垂直
1．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正
三角形， 为 上一点， ．证明： 平面 ；
【 解 答 】 解 ： 不 妨 设 圆 的 半 径 为 1， ， ， ，
，
，
在 中， ，故 ，
同理可得 ，又 ，
故 平面 ；
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ， ， 分别为
， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ．
D
O
AE
AE AD
ABC
P
DO
6
6
PO DO
PA
PBC
O
1OA OB OC 
2AE AD 
3AB BC AC 
2 2 6 2
3, 6 2
DO DA OA PO DO  
2 2
6
2
PA PB PC PO AO 
PAC
2 2 2
PA PC AC 
PA PC
PA PB
PB PC P
PA
PBC
P ABCD
ABCD
PD
ABCD
60BAD  
E
F
AB
PC
/ /EF
PAD
AB
PDE
【解答】证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ．
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ．
因为底面 是菱形，所以 ， ．
因为 是 的中点，所以 ， ，
所以 ， ，则四边形 为平行四边形，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）连接 ．
因为底面 是边长为 4的菱形，且 ，
所以 为等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
3．如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ．设平面 与平面 的交线为 ．
证明： 平面 ；
PD
H
AH
HF
H
F PD
PC
/ /HF DC
1
2
HF DC
ABCD / /AB CD
AB CD
E
AB
1 1
2 2
AE AB CD 
/ /AE CD
/ /AE HF
AE HF
AEFH
/ /AH EF
AH
PAD
EF
PAD
/ /EF
PAD
BD
ABCD
60BAD  
ABD
E
AB
DE AB
PD
ABCD
AB
ABCD
PD AB
PD
DE
PDE
PD DE D
AB
PDE
P ABCD
PD
ABCD
PAD
PBC
l
l
PDC
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