专题19 指数函数、对数函数与幂函数型复合函数重难点突破（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 19 指数函数、对数函数与幂函数型复合函数
一、考情分析
二、重难点突破
知识点 1 幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：(1)
y=x
；(2)
y=x
1
2
；(3)
y=x2
；(4)
y=x−1
；(5)
y=x3
．
幂函数随着 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)
α>0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
上是增函数．特别地，当
α>1
时，幂函数
的图象下凸；当
0<α<1
时，幂函数的图象上凸；
(3)
α<0
时，幂函数的图象在区间
(0,+∞)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象
在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
+∞
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
知识点 2.函数的周期性定义：
对于函数
)(xf
，如果存在一个非零常数
T
，使得定义域内的每一个
x
值，都满足
)()( xfTxf
，那么函数
)(xf
就叫做周期函数，非零常数
T
叫做这个函数的周期。
① ； ② ；
③.
知识点 3.对称轴与对称中心
①函数
y=f(x)
关于
x=a
对称
⇔
f(a+x)=f(a−x)
，
f(a+x)=f(a−x)
也可以写成
f(x)=f(2a−x)
或
f(−x)=f(2a+x)
；
若写成：
f(a+x)=f(b−x)
，函数
y=f(x)
关于直线
x=(a+x)+(b−x)
2=a+b
2
对称.
②函数
y=f(x)
关于点
(a , b )
对称
⇔
f(a+x)+f(a−x)=2b
，
上述关系也可以写成 f(2a+x)+f(−x)=2b
或
f(2a−x)+f(x)=2b
；
若写成：
f(a+x)+f(b−x)=c
，函数
y=f(x)
关于点
(a+b
2,c
2)
对称.
三、题型分析
(一) 指数型复合函数
例 1．（2019·江西省吉水县第二中学高一期中）函数 f（x）= 值域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出指数 的范围，结合指数函数单调性求出值域.
【详解】
令 ， 为减函数，所以 ，结合 可得 C 选
项.
【点睛】
本题主要考查复合型函数的值域问题.主要思路是利用换元法把复合函数拆分为简单的初等函数，各个击破.
【变式训练 1-1】．（2019·河南南阳中学高一月考）函数 得单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
外层函数是减函数，求内层函数的单调减区间，还要注意定义域.
【详解】
令：
单调递减区间是
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