专题19 含字母系数的分式方程（解析版）--2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练

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专题 19 含字母系数的分式方程（解析版）
第一部分 典例剖析 及针对训练
考点一 利用分式方程的解范围求字母系数的值或范围
典例 1 （2022•禅城区一模）若关于 x的分式方程
x −2
x −1=mx
1− x
有正整数解，则整数 m为 　 　 ．
思路点拨：求解分式方程可得 x
¿2
1+m
，由题意可得 1+m＝1或1+m＝2，
2
1+m≠
1，由此可求 m的值．
解：
x −2
x −1=mx
1− x
，
x2﹣＝﹣mx，
x+mx＝2，（1+m）x＝2，
x
¿2
1+m
，
∵方程有正整数解，
∴1+m＝1或1+m＝2，
∴m＝0或m＝1，
∵x≠1，∴
2
1+m≠
1，
∴m≠1，
∴m＝0，
故答案为：0．
点睛：本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
典例 2（2022 春•沙坪坝区校级月考）若关于 x的不等式组
{
x −1
2
＜1+x
3
7x − 2≥ x +a
)
有且只有四个整数解，且关于 y
的分式方程
的解为非负整数，则所有满足条件的整数 a的值的和是（　　）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
思路点拨：根据题目的条件确定 a的取值范围即可求解．
解：解不等式组
{
x −1
2
＜1+x
3
7x − 2≥ x +a
)
得
{
x＜5
x ≥ a+2
6
)
，
∵不等式组有且四个整数解，
∴0
＜a+2
6≤
1，
∴﹣2＜a≤4，
解分式方程
得y
¿a+4
2
，
又∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，且 y≠2，
即
a+3
2≥
0，且
a+3
2≠
2，
解得 a≥ 3﹣且a≠1，
∴﹣3≤a≤4 且a≠0，
∴满足条件的整数 a的值为﹣1，﹣2，0，2，3，4，
当a＝﹣2、0、2、4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数 a的值为﹣1，3，
∴满足条件的整数 a的值之和是 2．
故选：A．
点睛：本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题
的关键．
针对训练 1
1．（2022•任城区一模）关于 x的分式方程
x −3
x −2+1=2x − a
2− x
的解是正数，则 a的取值范围是 　 ．
思路点拨：解分式方程，用 a表示 x，再根据关于 x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
解：原分式方程可化为：
x −3
x −2+¿
1
¿−(2x − a)
x −2
，
x3+﹣x2﹣＝﹣2x+a，
解得 x
¿5+a
4
，
∵关于 x的分式方程的解是正数，
∴
{
5+a
4
＞0
5+a
4≠2
)
，
解得：a＞﹣5且a≠3．
故答案为：a＞﹣5且a≠3．
点睛：本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，
根据关于 x的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
2．（2021 秋•绵阳期末）若关于 x的方程
1
x+1−a
x −3=2(a −1)
x2−2x − 3
的解为整数，则满足条件的所有整数 a
的和等于 　 　 ．
思路点拨：解分式方程，用 a表示 x，根据最简公分母及一次系数不为 0，求出 a
≠1
3
且a≠ 1﹣，a≠1，再
根据关于 x的方程的解为整数，求出 a的值，进而求出满足条件的所有整数 a的和．
解：原分式方程可化为：
1
x+1−a
x −3=2(a −1)
(x+1)(x − 3)
，
去分母，得 x3﹣ ﹣a（x+1）＝2a2﹣，
解得，x
¿3a+1
1−a
¿3(a −1)+4
1−a
＝﹣3
+4
1− a
，
∵x≠3 且x≠ 1﹣，
∴﹣3
+4
1− a ≠
3且﹣3
+4
1− a ≠ −
1，
∴a
≠1
3
且a≠ 1﹣，a≠1，
∵关于 x的方程的解为整数，
∴a＝±1 或a＝±2 或a＝±4，
∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
点睛：本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，根据关于 x的方程的解为整数，分情况
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