专题19 圆与相似三角形-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（原卷版）

3.0 envi 2025-05-18 20 4 74.7KB 5 页 3知币

专题十九圆与相似三角形

【导例】

1.已知：如图，MN 为⊙O的直径，ME 是⊙O的弦，MD 垂直于过点 E的直线 DE，垂足为

点D，且 ME 平分∠DMN．

求证：（1）DE 是⊙O的切线；

（2）ME2＝MD•MN．

【方法点睛】

圆中很容易出现相等角，如：①圆周角；②半径构成的等腰三角形；*③弦切角.

而相似三角形只需要通过两对角分别相等即可得证（往往含有公共角），此时就可以

利用相似三角形的相似比进行线段的求解（相似比经常能与三角函数挂钩）.

【典例精讲】

一、出现比例设方程

【例 1】如图，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O交AB 于

点E．

（1）求证：DE 是⊙O的切线；

（2）若 AE：EB＝1：2，BC＝6，求 AE 的长．

变式训练

2. 如图，AB 是⊙O的直径，C、D是圆上两点，CD＝BD，过点 D作AC 的垂线分别交

AC，AB 延长线于点 E，F．

（1）求证：EF 是⊙O的切线；

（2）若 AE＝3，sin∠EAF＝

，求⊙O的半径．

【例 2】如图，⊙O是△ABC 的外接圆，O点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O于点 D，

连接 BD、CD，过点 D作BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．

（1）求证：PD 是⊙O的切线；

（2）求证：△PBD∽△DCA；

（3）当 AB＝6，AC＝8时，求线段 PB 的长．

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