专题19 圆与相似三角形-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）
专题十九 圆与相似三角形
【导例】
1.已知：如图，MN 为⊙O的直径，ME 是⊙O的弦，MD 垂直于过点 E的直线 DE，垂足为
点D，且 ME 平分∠DMN．
求证：（1）DE 是⊙O的切线；
（2）ME2＝MD•MN．
【解析】（1）∵ME 平分∠DMN，
∴∠OME＝∠DME，
∵OM＝OE，
∴∠OME＝∠OEM，
∴∠DME＝∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE 过O，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）
连接 EN，
∵DM⊥DE，MN 为⊙O的直径，
∴∠MDE＝∠MEN＝90°，
∵∠NME＝∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴
ME
MD
＝
MN
ME
，
∴ME2＝MD•MN
【方法点睛】
圆中很容易出现相等角，如：①圆周角；②半径构成的等腰三角形；*③弦切角.
而相似三角形只需要通过两对角分别相等即可得证（往往含有公共角），此时就可以
利用相似三角形的相似比进行线段的求解（相似比经常能与三角函数挂钩）.
【典例精讲】
一、出现比例设方程
【例 1】如图，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O交AB 于
点E．
（1）求证：DE 是⊙O的切线；
（2）若 AE：EB＝1：2，BC＝6，求 AE 的长．
【解析】（1）证明：
连接 OE、EC，
∵AC 是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵D为BC 的中点，
∴ED＝DC＝BD，
∴∠1＝∠2，
∵OE＝OC，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+ 3∠＝∠2+ 4∠，
即∠OED＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC＝90°，
∵在 Rt△BEC 与Rt△BCA 中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，
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