专题18 立体几何中的最短路径问题及体积、表面积最值问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）
专题 18 立体几何中的最短路径问题及体积、表面积最值问题
题型一 立体几何中的最短路径问题
1．如图所示，在所有棱长均为 1的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1上，有一只蚂蚁从点 A出发，围着三棱柱的侧
面爬行两周到达点 A1，则爬行的最短路程为 ．
【解答】解：可将直三棱柱 ABC﹣A1B1C1沿着侧棱 AA1展开两次得到如图所示的矩形，
连接对角线，
可得爬行的最短路程为 ＝ ．
故答案为： ．
2．如图：正三棱锥 A﹣BCD 中，∠BAD＝30°，侧棱 AB＝2，BD 平行于过点 C的截面 CB1D1，则截面
CB1D1与正三棱锥 A﹣BCD 侧面交线的周长的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【解答】解：把正三棱锥 A﹣BCD 的侧面展开，
两点间的连接线 CC'即是截面周长的最小值．
正三棱锥 A﹣BCD 中，∠BAD＝30°，所以 AC⊥AC′，AB＝2，
∴CC′＝2，
∴截面周长最小值是 CC′＝2．
故选：D．
3．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 6cm，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P出发，绕圆
锥表面爬行一周后回到点 P处．若该小虫爬行的最短路程为 6cm，则圆锥底面圆的半径等于（
）cm．
A．1 B．C．2 D．
【解答】解：根据圆锥的侧面展开图：
得知：OA＝OB＝6，AB＝6，
所以 OA2+OB2＝AB2，故 ，
设圆锥的底面半径为 r，
利用 ，解得 r＝ ．
故选：B．
4．如图，圆锥的底面直径 AB＝2，母线长 VA＝3，点 C在母线 VB 上，且 VC＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧
面从点 A到达点 C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【解答】解：由题意知，底面圆的直径为 2，故底面周长等于 2π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 α，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝3α，
解得：α＝ ，
∴∠AVA′＝ ，
则∠1＝ ，
过C作CF⊥VA，
∵C为VB 的三等分点，BV＝3，
∴VC＝1，
∵∠1＝60°，
∴∠VCF＝30°，
∴FV＝ ，
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