专题18 分式方程的应用（解析版）--2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练

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专题 18 分式方程的应用（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 工程问题
典例 1 （2020 秋•硚口区期末）甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做 20 天可以
完成；若甲工程队先单独施工 40 天，再由乙工程队单独施工 10 天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费 1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元．若要求尽快完
成整个工程，但总施工费用不超过 66 万元，求乙工程队最多施工多少天？
思路点拨：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要 x天，则甲工程队的工作效率为
1
x
，乙工程队的工
作效率为（
1
20 −1
x
），根据“甲工程队先单独施工 40 天，再由乙工程队单独施工 10 天也可以完成改造
工程”，即可得出关于 x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工 m天，则甲工程队施工（60 2﹣m）天，根据总施工费用不超过 66 万元，即可得
出关于 m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要 x天，则甲工程队的工作效率为
1
x
，乙工程队的工作效率
为（
1
20 −1
x
），
依题意得：
40
x+¿
10（
1
20 −1
x
）＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60 是原方程的解，且符合题意，
∴1÷（
1
20 −1
x
）＝30．
答：甲工程队单独完成此项工程需要 60 天，乙工程队单独完成此项工程需要 30 天．
（2）设乙工程队施工 m天，则甲工程队施工
1−m
30
1
60
=¿
（60 2﹣m）天，
依题意得：60 2﹣m+2.5m≤66，
解得：m≤12．
答：乙工程队最多施工 12 天．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
针对训练 1
1．（2018 秋•黄陂区期末）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6个，甲做 90 个零件所
用的时间与乙做 60 个零件所用的时间相等．设甲每小时做 x个零件，依题意列方程为　
90
x=60
x −6
　．
思路点拨：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做（x6﹣）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效
率结合甲做 90 个零件所用的时间与乙做 60 个零件所用的时间相等，即可得出关于 x的分式方程，此题
得解．
解：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做（x6﹣）个零件，
依题意，得：
90
x=60
x −6
．
故答案为：
90
x=60
x −6
．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数
的两倍；若甲工程队单独做 5天后，再成由乙工程队单独做 15 天，恰好完成该工程的一半，共需施工
费28 万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多 0.8 万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过 52 万元，且乙工程队的施工天数大于 6
天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数）
思路点拨：（1）令此项工程中总工作量为 1，根据“甲队工作量+乙队工作量＝1，列方程求解即可；
（2）设甲工程队每天的施工费为 a万元，则乙工程队每天的施工费为（a0.8﹣）万元，列方程求解可
得；
（3）由题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用
≤52，②乙队施工天数＞6，列出不等式组，即可得出结果．
解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为 x天，则乙工程队单独施工完成此项工程的天数
为2x天，
由题意得：
5
x+15
2x=1
2
，
解得：x＝25，
经检验：x＝25 是原方程的根，
则2x＝25×2＝50（天），
答：单独完成此项工程，甲、乙两工程队分别需要 25 天、50 天；
（2）设甲工程队每天的施工费为 a万元，则乙工程队每天的施工费为（a0.8﹣）万元，
由题意得：5a+15（a0.8﹣）＝28，
解得：a＝2，
则a0.8﹣＝1.2（万元），
答：甲、乙工程队每天的施工费分别为 2万元、1.2 万元；
（3）设全部完成此项工程中，甲队施工了 m天，
则甲完成了此项工程的
m
25
，乙队完成了此项工程的（1
−m
25
），
∴乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：
1−m
25
1
50
=¿
（50 2﹣m）（天），
由题意得：
{
2m+1.2(50 −2m)≤52
50−2m＞6
)
，
解得：20≤m＜22，
∴甲工程队施工天数的是 20 天或 21 天．
答：甲工程队施工天数的是 20 天或 21 天．
点睛：本题考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式组的应用等知识；分析题意，找到合适的
等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
类型二 行程问题
4．（2021 秋•高邑县期末）一辆汽车开往距离出发地 180km 的目的地，出发后第 1小时内按原计划的速度
匀速行驶，1小时后按原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40min 到达目的地，
（1）求前 1小时行驶的速度；
（2）汽车出发时油箱有油 7.5 升油，到达目的地时还剩 4.3 升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速
度每小时耗油量多 0.3 升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？
思路点拨：（1）设前 1小时行驶的速度为 xkm/h，则 1小时后行驶的速度为 1.5xkm/h，根据时间＝路程
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