专题18 8字型+角分线求角（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 18 8 字型+角分线求角

最基础最核心

1．（类比探究）如图 1，线段 AD，CB 相交于点 O，连接 AB，DC，我们把形如图 1的图形称之为“X型”．

如图 2，在图 1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线 AE 和CE 相交于点 E，并且与 CB，AD 分别相交于

F，G，试解答下列问题：

（1）在图 1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；

（2）在图 2中，共有______个“X型”；

（3）在图 2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；

（4）在图 2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．

【答案】（1）∠A+ D= C+ B∠ ∠ ∠ ；（2）6；（3）35°；（4）α+β．

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+ B= C+ D∠ ∠ ∠ ；

（2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有 6个；

（3）先根据“X型”中的角的规律，可得∠BAE+ B= E+ ECB①∠ ∠ ∠ ，∠ECD+ D= EAD+ E②∠ ∠ ∠ ，再根据角

平分线的定义，得出∠BAE= EAD∠，∠BCE= ECD∠，将①+②，可得 2 E= D+ B∠ ∠ ∠ ，进而求出∠E的度数；

（4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出 2 AEC=α+β∠．

【详解】

（1）∵∠A+ B+ AOB= C+ D+ DOC=180°∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，∠AOB= DOC∠，

∴∠A+ B= C+ D∠∠∠；

故答案为：∠A+ D= C+ B∠ ∠ ∠ ；

（2）①线段 AD、CB 相交于点 O，形成“X型”；

②线段 AG、CF 相交于点 O，形成“X型”；

③线段 AD、CE 相交于点 G，形成“X型”；

④线段 AD、CF 相交于点 O，形成“X型”；

⑤线段 AE、CB 相交于点 F，形成“X型”；

⑥线段 AG、CB 相交于点 O，形成“X型”；

故“X型”共有 6个；

故答案为：6．

（3）∠BAE+ B= E+ ECB∠ ∠ ∠ ，①

∠ECD+ D= EAD+ E∠ ∠ ∠ ，②

∵∠DAB 和∠BCD 的平分线 AE 和CE 相交于点 E，

∴∠DAE= EAB∠，∠DCE= ECB∠，

①+② 得：

∠BAE+ B + ECD+ D = E+ ECB + EAD+ E∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，

即2 E= D+ B∠ ∠ ∠ ，

又∵∠D=40°，∠B=30°，

∴2 E=40°+30°=70°∠，

∴∠AEC=35°；

故答案为：35°；

（4）由（3）知：2 E= D+ B∠ ∠ ∠ ．

∵∠D=α，∠B=β，

∴2 E=α+β∠．

故答案为：α+β．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形

内角和定理得出“X型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“X

型”；（3）（4）直接运用“X型”中的角的规律解题．

2．已知：如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，如图 2，在图 1的条件下，和的

平分线 AP 和CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N．试解答下列问题：

（1）在图 1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；

（2）在图 2中，若，，试求∠P的度数；（写出解答过程）

（3）如果图 2中和为任意角，其他条件不变，试写出∠P与、之间数量关系．（直接写出

结论）

【答案】（1）；（2）45°；（3）

【分析】

（1）根据三角形的内角和等于 180°，易得∠A+ D= B+ C∠ ∠ ∠ ；

（2 ）仔细观察图 2，不难看出它有两个图 1构成 ADMCP， APNCB．由此，得到两个关系式∠2+ D= 3+ ∠ ∠

P∠，∠1+ P= 4+ B∠ ∠ ∠ ，再由角平分线的性质得∠1= 2 ∠，∠3= 4∠，两式相减，即可得结论．

（3）与（2）相同．

【详解】

（1）证明：在中，

在中，

∵

∴

故答案为：

（2）解：如图 2，

∵AP、CP 分别平分、

∴ ，

由（1）的结论得：

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