专题18 定角内定点求周长最值-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（原卷版）

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专题 18 定角内定点求周长最值

【专题导入】

1. 如图，点 P在∠AOB 的内部，点 C和点 P关于 OA 对称，点 P关于 OB 对称点是 D，连接 CD 交

OA 于M，交 OB 于N．

（1）①若∠AOB=60°，则∠COD=____°；

② 若∠AOB=α，则∠COD=____°．

（2）请写出 OC，OP，OD 的数量关系：________；

（3）若 CD=4，则△PMN 的周长为______．

【方法点睛】

图形分析：角内一定点与角边上两动点所成最短路径问题

作法：分别作点 P关于两直线的对称点 P′和P″，连接 P′P″，与两直线交点为 M，N.连接 OP′，OP″.

结论：1.PM+MN+PN 的最小值为线段 P′P″的长.

2.△OP′P″为等腰三角形，OP′=OP″=OP.

3.∠P′OP″=2∠MON.

一、定点求最值

【例 1】公园内有两条河 OM、ON 在点 O处汇合（如图），∠MON=30°，两河形成的半岛上有一

处古迹 P．现计划在两条小河上各建一座小桥 Q和R，并在半岛上修三段小路分别连结两座小桥

Q、R和古迹 P．若 OP 的距离是 50 米，求这三段小路长度之和的最小值．

同步练习

1. 如图，∠AOB＝45°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝8．在 OA 上有一动点 Q，OB 上有一动点 R．若

△PQR 周长最小，则最小周长是_____.

【例 2】如图，P为∠AOB 内一定点，M、N分别是射线 OA、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM

＝40°，则∠AOB＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

同步练习

2. 如图，∠AOB＝30°，点 P是∠AOB 内一点，在∠AOB 的两边上分别有点 R、Q（均不同于 O），当

△PQR 周长最小时，∠QPR 的大小是_____.

二、动态情况找范围

【例 3】如图，点 D是△ABC 中AB 边上的一个动点，点 D关于 AC，BC 对称点分别是点 E和点 F，∠A＝

45°，∠B＝75°，AC＝8，则 EF 的最小值是____.

【专题过关】

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