专题18 定角内定点求周长最值-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 18 定角内定点求周长最值

【专题导入】

1. 如图，点 P在∠AOB 的内部，点 C和点 P关于 OA 对称，点 P关于 OB 对称点是 D，连接 CD 交

OA 于M，交 OB 于N．

（1）①若∠AOB=60°，则∠COD=____°；

② 若∠AOB=α，则∠COD=____°．

（2）请写出 OC，OP，OD 的数量关系：________；

（3）若 CD=4，则△PMN 的周长为______．

【解析】（1）①∵点 C和点 P关于 OA 对称，

∴∠AOC=∠AOP，

∵点 P关于 OB 对称点是 D，

∴∠BOD=∠BOP，

∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°，

故答案为：120°．

②∵点 C和点 P关于 OA 对称．

∴∠AOC=∠AOP，

∵点 P关于 OB 对称点是 D，

∴∠BOD=∠BOP，

∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α．

（2）∵点 C与点 P关于 OA 对称，点 D与点 P关于 OB 对称，

∴OC=OP,OD=OP.

故答案为：OC=OD=OP.

（3）根据轴对称的性质，可知 CM=PM，DN=PN，

所以△PMN 的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4，

故答案为：4.

【方法点睛】

图形分析：角内一定点与角边上两动点所成最短路径问题

作法：分别作点 P关于两直线的对称点 P′和P″，连接 P′P″，与两直线交点为 M，N.连接 OP′，OP″.

结论：1.PM+MN+PN 的最小值为线段 P′P″的长.

2.△OP′P″为等腰三角形，OP′=OP″=OP.

3.∠P′OP″=2∠MON.

一、定点求最值

【例 1】公园内有两条河 OM、ON 在点 O处汇合（如图），∠MON=30°，两河形成的半岛上有一

处古迹 P．现计划在两条小河上各建一座小桥 Q和R，并在半岛上修三段小路分别连结两座小桥

Q、R和古迹 P．若 OP 的距离是 50 米，求这三段小路长度之和的最小值．

【解析】过点 P分别作关于 OM，ON 的对称点 P'，P“，连接 P'P“，分别交 OM，ON 于点 Q，R，

则△PQR 的周长最短．

由对称的性质可知：OP=OP′=OP″，∠MOP=∠MOP′，∠NOP=∠NOP″，

∵∠MON=30°，

∴∠P′OP″=60°，

∴△P′OP″是等边三角形，

∴P′P″=50 米，

∵QP=QP′，PR=RP″，

∴△PQR 的周长=PQ+QR+PR=P′Q+QR+RP″=P′P″=50 米

∴这三段小路长度之和的最小值为 50 米．

同步练习

1. 如图，∠AOB＝45°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝8．在 OA 上有一动点 Q，OB 上有一动点 R．若

△PQR 周长最小，则最小周长是_____.

【答案】8

❑

√

【解析】如图，作点 P关于 OA 的对称点 C，关于 OB 的对称点 D，连接 CD 与OA、OB 分别相交于点

Q、R，

所以 PQ＝CQ，PR＝DR，

所以△PQR 的周长＝PQ+QR+PR＝CQ+QR+DR＝CD，

由两点之间线段最短得，此时△PQR 周长最小，

连接 CO、DO，则∠AOP＝∠AOC，OC＝OP，∠BOP＝∠BOD，OD＝OP，

所以 OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝2∠AOB＝2×45°＝90°，

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