专题17 对角互补型旋转-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-18 17 4 140.26KB 9 页 3知币
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专题 17 旋转构造特殊三角形（对角互补）
【专题导入】
1.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠A= C=90°∠
（1）连接 AC，把△ACD 绕点 A顺时针旋转 90°，得到△ABE，试画出图形；
（2）证明：DC+BC=
❑
√
2
AC.
【解析】（1）△ABE 即为所求.
（2）由（1）可得△ABE ADC≌△ ，
∴BE=DC，AC=AE，∠EAB= DAC.∠
∠EAC= EAB+ BAC= DAC+ BAC= BAD=90°.∠ ∠ ∠ ∠ ∠
在△AEC 中，∠CAE=90°，AE=AC，
∴△AEC 是等腰直角三角形.
EC=
❑
√
2
AC，
又EC=EB+BC=DC+BC，
∴DC+BC=
❑
√
2
AC.
【方法点睛】
在题干或能从题干中提取出四边形的①存在同一顶点的边相等；②对角互补这两个条件，可以尝试使
用.
步骤：
①连接对角线（夹在相等线段中间的）；
②以两条相等边的顶点为旋转中心，夹角为旋转角进行旋转，这样就能使两个三角形合并成一个三角
形.
*常见的旋转角为 90°，60°（能构出等腰直角三角形或等边三角形）.
【典例精析】
【例 1】如图，在△A BC 中，∠B A C =120° ，以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD ，把△ABD 绕着点
D按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，且 A、C、E三点共线，若 AB=3 ，AC=2，求∠B A D 的
度数与 AD 的长．
【解析】∵△ABD 绕着点 D按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，
∴∠AD E = 60° ，D A=DE ，
∴△AD E 为等边三角形，
∴∠DA E = 60° ．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴∠B A D = ∠BAC- ∠DAE=12 0 °-60°=6 0 ° ．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+ CE．
∵△A B D 绕着点 D按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，
∴CE=AB ，
∴AE=AC+ AB=2+3 = 5．
∵△AD E 为等边三角形，
∴A D=AE =5 ．
同步练习 1. 在△ABC 中，∠ABC=1 2 0° ，线段 A C 绕点 A逆时针旋转 60°得到线段 A D ，连接
CD，B D 交A C 于P．
（1）若∠BA C = α，直接写出∠BCD 的度数（用含 α的代数式表示）；
（2）求 AB ，B C ，BD 之间的数量关系；
（3）当 α=3 0 °时，直接写出 AC，BD 的关系．
【解析】（1）∵线段 AC 绕点 A逆时针旋转 60°得到线段 AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠ACD = 6 0°，
∵∠AB C = 1 20 °，
∴∠BA C + ∠BCA = 6 0° ，
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