专题16 复数——常见中档题型汇编（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 16 复数——常见中档题型汇编
题型一 几何相关
1．在复平面上，满足 的复数 的所对应的轨迹是 　　
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
【解答】解：设 ，
则 ，
，
运动轨迹是圆，
故选： ．
2．设复数 满足 ，则 的最大值为 　　
A．B．C．2 D．3
【解答】解：设 ，复数 满足 ，
所以 ，
表示 到点 的距离为 1，
所以 到原点的距离的最大值为 ；
故选： ．
3． 是虚数单位，设复数 满足 ，则 的最大值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解： ．
复数 满足 ， 的几何意义是单位圆上的点与 点的距离．
则 的最大值为： ．
故选： ．
4．若 ，则 取值范围是　 ， ．　．
【解答】解：由题意设 ，则
，
其几何意义为平面内一动点 到两定点 ， ， ， 距离之差，
由图可知，当 ， ， 三点共线时，距离之差最大，当 时，最小，
则 ．
的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
5． 的二次方程 中， ， ， 均是复数，且 ，设这个方程的两个
根 、 ，满足 ，求 的最大值和最小值．
【解答】解：设 ．则 ．
而
，
即表示复数 的点在圆 上，
该点与原点距离的最大值为 ，最小值为 ．
6．已知 是虚数， 是实数．
（1）求 为何值时， 有最小值，并求出 的最小值；
（2）设 ，求证： 为纯虚数．
【解答】（1）解：设 ，
则
，
由题意可得 ，又 可得 ；
，
表示点 到点 的距离，
而 在单位圆上运动，
所以 的最小值为 ，此时交点 在第二象限，
解方程组 ，得 ；
（2）证明：由 ，
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