专题16 手拉手模型（全等型）-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 16 手拉手模型（全等型）
【专题导入】
1.如图，△ABC 与△ADE 是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.连接 BD,EC.
（1）求证：BD=EC；
（2）△AEC 可看作△ABD 绕____点旋转得到的，旋转角是∠_____.
【解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中，
{
AB=AC ，
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE ，
△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE. △ABD 和△ACE 中，
{
AB=AC ，
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE ，
△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=EC.
（2）A ABC（或 DAE）.
【方法点睛】
由两个顶角相等的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，可以称为手拉手模型.
结论（导入的图）：
（1）△BDA≌△DEA（左手点+顶点≌右手点+顶点）
（2）由全等得出：BD=CE.
常见的手拉手模型：
【典例精讲】
【例 1】如图，四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD 绕点 C顺时针旋转一定角度后，
点B的对应点恰好与点 A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断 AE 与BD 的位置关系，并说明理由；
（3）若 AD=2，CD=3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长．
【解析】（1）∵将△BCD 绕点 C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD≌△ACE
∴AC=BC，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
故旋转角的度数为 90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM 中，∠BCM=90°
∴∠MBC+∠BMC=90°
∵△BCD≌△ACE
∴∠DBC=∠EAC
即∠MBC=∠NAM
又∵∠BMC=∠AMN
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接 DE，
由旋转图形的性质可知
CD=CE，BD=AE，旋转角∠DCE=90°
∴∠EDC=∠CED=45°
∵CD=3，
∴CE=3.
在Rt△DCE 中，∠DCE=90°.
DE=
❑
√
CD2+CE2
=3
❑
√
2
.
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=∠ADC+∠EDC=90°
在Rt△ADE 中，∠ADE=90°
∴EA=
❑
√
AD2+DE2
=
❑
√
22
.
∴BD=
.
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