专题15分式的条件求值技巧之整体代入法（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 15 分式的条件求值技巧之整体代入法（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 移项后整体代入
典例 1 （2020•浙江自主招生）如果 a，b，c是正数，且满足 a+b+c＝9，
1
a+b+1
b+c+1
c+a=10
9
求：
c
a+b+a
b+c+b
c+a
的值．
思路点拨：把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
解：∵
1
a+b+1
b+c+1
c+a=10
9
，
∴
9
a+b+9
b+c+9
c+a=¿
10，
∵a+b+c＝9，
∴a＝9﹣（b+c），b＝9﹣（a+c），c＝9﹣（a+b），
c
a+b+a
b+c+b
c+a
，
¿9−(a+b)
a+b+9−(b+c)
b+c+9−(a+c)
c+a
，
¿9
a+b−
1
+9
b+c−
1
1，
＝10 3﹣，
＝7．
点睛：本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用．
针对训练 1
1．（2021 春•奉化区校级期末）若 x+y＝2z，且 x≠y≠z，则
x
x − z +z
y − z
的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
思路点拨：根据 x+y＝2z，且 x≠y≠z，可以得到 x﹣z＝z﹣y，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．
解：∵x+y＝2z，且 x≠y≠z，
∴x﹣z＝z﹣y，
∴
x
x − z +z
y − z
¿x
z− y −z
z − y
¿x − z
z− y
¿z− y
z− y
＝1，
故选：A．
点睛：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
2．（2020•浙江自主招生）已知 2a2+a4﹣＝0，a﹣b＝2，求
1
a+1+2
b
的值．
思路点拨：把第一个等式变形，将第二个等式变形后代入整理求出
b+2(a+1)
b(a+1)
的值，原式通分并利用同
分母分式的加法法则计算，即可得到结果．
解：2a2+a4﹣＝0，①
a﹣b＝2，②
由①得：（a2+a）+（a24﹣）＝0，
变形得：a（a+1）+（a2﹣）（a+2）＝0，③
把a＝b+2，a2﹣＝b代入③得：（b+2）（a+1）+b（a+1+1）＝0，
整理得：2b（a+1）+2（a+1）+b＝0，即 2（a+1）+b＝﹣2b（a+1），
∴
b+2(a+1)
b(a+1)=−
2，
∴
1
a+1+2
b=b+2(a+1)
b(a+1)=−
2．
点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
类型二 利用完全平方公式变形后整体代入
典例 2 （岑溪市期末）已知 x2+3xy+y2＝0（x≠0，y≠0），则分式
y
x+x
y
的值等于（　　）
A．
1
3
B．
−1
3
C．3 D．﹣3
思路点拨：先根据题意得出 x2+y2＝﹣3xy，再由分式混合运算的法则把原式进行化简，把 x2+y2＝﹣3xy
代入进行计算即可．
解：∵x2+3xy+y2＝0（x≠0，y≠0），
∴x2+y2＝﹣3xy，
∴原式
¿y2+x2
xy =−3xy
xy
＝﹣3．
故选：D．
点睛：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
针对训练 2
3．（2019 秋•乳山市期末）若 a2
+1
a2=¿
23，则 a
+1
a−
2的值为（　　）
A．5 B．0 C．3或﹣7 D．4
思路点拨：先由 a2
+1
a2=¿
23 得出（a
+1
a
）2＝a2+2
+1
a2=¿
25，据此知 a
+1
a=¿
5或a
+1
a=−
5，再分别代
入计算可得．
解：∵a2
+1
a2=¿
23，
∴（a
+1
a
）2＝a2+2
+1
a2=¿
25，
∴a
+1
a=¿
5或a
+1
a=−
5，
当a
+1
a=¿
5时，a
+1
a−
2＝5 2﹣＝3；
当a
+1
a=−
5时，a
+1
a−
2＝﹣5 2﹣＝﹣7；
综上，a
+1
a−
2的值为 3或﹣7；
故选：C．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公
式的运用．
类型三 变形后整体代入
典 例 3（和平区校级期中）已知实数 a，b，c均不为零，且满足 a+b+c＝0， 则
1
b2+c2− a2+1
c2+a2− b2+1
a2+b2− c2
的值是（　　）
A．为正 B．为负
C．为 0 D．与 a，b，c的取值有关
思 路 点 拨 ： 根 据 a+b+c＝0， 可 得 b+c＝ ﹣ a，c+a＝ ﹣ b，a+b＝ ﹣ c， 从 而 可 以 将
1
b2+c2− a2+1
c2+a2− b2+1
a2+b2− c2
化简求值，从而解答本题．
解：∵a+b+c＝0，
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