专题15 正方形中的45度角（原卷版）--2021-2022学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 15 正方形中的 45 度角

【最基础最核心】

1．如图，正方形 ABCD 中，E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF＝45°，连接 EF，这种模型属于“半角模

型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以

看作绕点 A旋转 90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．

（1）延长 CB 到点 G，使 BG＝，连接 AG；

（2）证明：EF＝BE＋DF

2．正方形 ABCD 的边长为 6，E，F分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点 D逆时针旋转

90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝CF+AE；

（2）当 AE＝2时，求 EF 的长．

3．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E、F分别是边 BC、CD 上的点，∠EAF=45°

（1）求证：BE+DF=EF

（2）当 BE=1 时，求 EF 的长

4．正方形 ABCD 中，E为BC 上的一点，F为CD 上的一点，，求的度数．

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5．（1）如图 1所示，已知正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求

证：；

（2）如图 2所示，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用

（1）中的结论证明：．

6．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究

、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且

，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

7．已知正方形 ABCD 中，∠MAN＝45°，∠MAN 绕点 A顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延

长线）于点 M，N，AH⊥MN 于点 H．

（1）如图①，当∠MAN 绕点 A旋转到 BM＝DN 时，请你直接写出 AH 与AB 的数量关系：　　；

（2）如图②，当∠MAN 绕点 A旋转到 BM≠DN 时，（1）中发现的 AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不

成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN 于点 H，且 MH＝2，AH＝6，求 NH 的长．（可利用（2）得到

的结论）

8．如图 1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．

（1）求证：；

（2）在图 1中，若 G在上，且，则成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

①如图 2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且

，，求的长．

②如图 3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结

果，不需要写出计算过程）

9．探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且．

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