专题15 正方形中的45度角（解析版）--2021-2022学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 15 正方形中的 45 度角

【最基础最核心】

1．如图，正方形 ABCD 中，E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF＝45°，连接 EF，这种模型属于“半角模

型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以

看作绕点 A旋转 90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．

（1）延长 CB 到点 G，使 BG＝，连接 AG；

（2）证明：EF＝BE＋DF

【答案】（1）DF；（2）见解析

【分析】

（1）由于△ADF 与△ABG 可以看作绕点 A旋转 90°的关系，根据旋转的性质知 BG=DF，从而得到辅助线的

做法；

（2）先证明△ADF≌△ABG

，

得到 AG=AF，∠GAB= DAF∠，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明

△AGE AFE≌△ 即可得到 EF＝GE=BE+GB=BE＋DF

【详解】

解：（1）根据旋转的性质知 BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长 CB 到点 G，使 BG=DF，连接 AG；

（2）∵四边形 ABCD 为正方形，

∴AB=AD，∠ADF= ABE= ABG=90°∠ ∠ ，

在△ADF 和△ABG 中

∴△ADF≌△ABG（SAS），

∴AF=AG，∠DAF= GAB∠，

∵∠EAF=45°，

∴∠DAF+ EAB=45°∠，

∴∠GAB+ EAB=45°∠，

∴∠GAE= EAF =45°∠，

在△AGE 和△AFE 中0

∴△ADF≌△ABG（SAS），

∴GE=EF，

∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利

用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型．

2．正方形 ABCD 的边长为 6，E，F分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点 D逆时针旋转

90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝CF+AE；

（2）当 AE＝2时，求 EF 的长．

【答案】（1）见解析；（2）5，详见解析．

【分析】

（1）由旋转可得 DE＝DM，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+ MDF∠＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF 为

45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由 DF＝DF，利用 SAS 可得出三角形 DEF 与三角形 MDF 全等，由全等三角形

的对应边相等可得出 EF＝CF+AE；

（2）由（1）的全等得到 AE＝CM＝2，正方形的边长为 6，用 AB AE﹣求出 EB 的长，再由 BC+CM 求出 BM

的长，设 EF＝MF＝x，可得出 BF＝BM FM﹣＝BM EF﹣＝8 x﹣，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理列出关

于x的方程，求出方程的解得到 x的值，即为 EF 的长．

【详解】

（1）证明：

∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM，

∴∠FCM＝∠FCD+ DCM∠＝180°，AE＝CM，

∴F、C、M三点共线，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°，

∴∠EDF+ FDM∠＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDM＝∠EDF＝45°，

在△DEF 和△DMF 中，

∵ ，

∴△DEF DMF≌△ （SAS），

∴EF＝MF，

∴EF＝CF+AE；

（2）解：设 EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝2，且 BC＝6，

∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，

∴BF＝BM MF﹣＝BM EF﹣＝8 x﹣，

∵EB＝AB AE﹣＝6 2﹣＝4，

在Rt EBF△中，由勾股定理得，

即，

解得：x＝5，

则EF＝5．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全

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