专题15 独立性检验（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 15 独立性检验
【考点预测】
1． 列联表
设 ， 为两个变量，它们的取值分别为 和 ，其样本频数列联表(列联表)如下：
总计
总计
2．独立性检验
利用随机变量 (也可表示为 ) (其中 为样本容量)来
判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
3．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列出 列联表；
(2)计算随机变量 的观测值 k，查下表确定临界值 k0：
(3)如果 ，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 ；否则，就认为
在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“X与Y有关系”．
【注意】(1)通常认为 时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结
论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可
能对统计计算的结果作出错误的解释．
(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．
【典型例题】
例1．（2022·河南驻马店·高二期中（文））我市连续两年举行了全民健身中短跑赛，为此某机构对人们参
加中短跑运动的情况进行了统计调查，从参与运动的人中随机抽取 200 人，对其每周参与中短跑训练的天
数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行中短跑训练天数（单位：天）
人数 30 130 40
若某人平均每周进行中短跑训练天数不少于 5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
(1)经调查，该市约有 2万人参与中短跑运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下面的 列联表，并通过计算判断能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为
“热烈参与者”与性别有关？
热烈参与者
非热烈参与
者
总计
男150
女45
总计 200
附公式： （n为样本容量）
0.500
0.40
0
0.250
0.15
0
0.100
0.05
0
0.025 0.010
0.00
5
0.001
0.455
0.70
8
1.323
2.07
2
2.706
3.84
1
5.024 6.635
7.87
9
10.828
【答案】(1)
(2)列联表见解析，能
【解析】
【分析】
（1）以 200 人中“热烈参与者”的频率作为概率，再乘以 可得答案；
（2）根据已知数据完成 列联表，计算出 ，与参考值比较可得答案.
(1)
以200 人中“热烈参与者”的频率作为概率，
则该市“热烈参与者”的人数约为 ．
(2)
列联表为
热烈参与者
非热烈参与
者
总计
男35 115 150
女5 45 50
总计 40 160 200
，
故能在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为“热烈参与者”与性别有关．
例2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（理））某学校高二年级有女生 1800 人，男生 1200 人，为
了解学生上学期课外阅读时间，采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时
间，然后按“女生”和“男生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 ， ，
， ， 共 5组，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
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