专题15 半倍角模型-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 15 半倍角模型

【导入】

如图，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC 边上的点，将△ABD 绕点 A旋转，得到△ACD

′．

（1）求∠DAD′的度数．

（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；

【解答】解：（1）∵将△ABD 绕点 A旋转，得到△ACD′

∴∠DAD′＝∠BAC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAD′＝90°；

（2）证明：∵△ABD 绕点 A旋转，得到△ACD′，

∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，

∵∠DAE＝45°

∴∠EAD′＝∠DAD′﹣∠DAE＝90° 45°﹣＝45°，

∴∠EAD′＝∠DAE，

在△AED 与△AED′中，

{

AE=AE ，

∠EAD=∠EAD'，

AD=AD'，

∴△AED≌△AED′（SAS），

∴DE＝D′E．

【方法点睛】

图形分析（关键点）：共顶点的两边相等（旋转必备条件），夹角的一半（旋转角的一半，旋转后形

成角平分线）

OA=OB，∠2= 1+ 3∠ ∠

把△OBF 旋转至△OBF′

此时 OE 平分∠F′OF.

即∠2= 1+ 4∠ ∠

【例 1】如图，E是正方形 ABCD 中CD 边上一点，以点 A为中心把△ADE 顺时针旋转 90°．

（1）在图中画出旋转后的图形；

（2）若旋转后 E点的对应点记为 M，点 F在BC 上，且∠EAF＝45°，连接 EF．

①求证：△AMF≌△AEF；

②若正方形的边长为 6，AE＝3

❑

√

，则 EF＝　　．

（1）解：如图，△ABM 为所作；

（2）①证明：∵ABCD 是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵△ADE 绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABM，

∴AM＝AE，∠MAE＝90°，

又∵∠EAF＝45°，

∴∠MAF＝45°，

∴∠MAF＝∠EAF，

在△AMF 和△AEF 中，

{

AM =AE ，

∠MAF=∠EAF ，

AF=AF ，

∴△AMF≌△AEF.

②解：∵△AMF≌△AEF，

∴EF＝MF，

即ME＝BF+MB，

而BM＝DE，

∴EF＝BF+DE，

在Rt△ADE 中，DE＝

❑

√

（3❑

√

5）2−62

＝3，

∴CE＝6 3﹣＝3，

设EF＝x，则 BF＝x3﹣，

∴CF＝6﹣（x3﹣）＝9﹣x，

在Rt△CEF 中，∵CF2+CE2＝EF2，

∴（9﹣x）2+32＝x2，解得 x＝5，

解EF＝5．

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