专题14 指数与指数幂的运算重难点突破（原卷版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 14 指数与指数幂的运算

一、考情分析

二、基础知识

【知识点一、根式】

1．次方根的概念

一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．

2．次方根的性质

（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方

根用符号表示．

（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方

根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成

．负数没有偶次方根．

（3）0 的任何次方根都为 0，记作．

3．根式的概念

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

4．根式的性质

根据次方根的意义，可以得到：

（1）；

（2）当为奇数时，；

（3）当为偶数时，．

【知识点二、实数指数幂】

1．分数指数幂

（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．

（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且

．

（3）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义．

2．有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质

对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：

（1） ____________ ；

（2） ____________ ；

（3） ____________ ．

3．无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数

的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．

一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无

理数指数幂．

4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系

分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的

运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不

可以理解为个

相乘．

二、题型分析

1．分数指数幂与根式的转化

在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重

根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．

例 1．（1）（2020·全国高一课时练习）的值是________.

（2）．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中高一月考）下列运算正确的是（）

A． B． C． D．

（3）．（2021·全国高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【变式训练 1-1】．（2020·全国高一课时练习）已知，则化为（）

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