专题14 线性回归直线与非线性回归直线方程（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 14 线性回归直线与非线性回归直线方程
【考点预测】
1．两个变量线性相关
(1)散点图：将样本中 个数据点 (i＝1,2，…， )描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关
①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
2．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关
关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程的推导过程：
①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 , , ．
②设所求回归方程为 ，其中 是待定参数．
③由最小二乘法得
其中， 是回归方程的斜率， 是截距．
3.当经验回归方程并非形如 (）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高二课时练习） 年初以来， 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的
销量也逐渐上升，某手机商城统计了近 个月来 手机的实际销量，如下表所示：
月份 年 月 年 月 年 月 年 月 年 月
月份编号
销量 /千部
若 与 线性相关，且求得线性回归方程为 ，则下列说法：
① ；② 与 正相关；③ 与 的相关系数为负数；④ 月份该手机商城的 手机销量约为 万
部．
其中正确的是________．（把正确的序号填在横线上）
【答案】①②
【解析】
【分析】
将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得 值；由回归方程中
的 的系数为正可知， 与 正相关；将 代入，可得 7月份该手机商城的 手机销量．
【详解】
由表中数据，计算得 ，∴ ，
于是得 ，解得 ，则①正确，
由回归方程中的 的系数为正可知， 与 正相关，且其相关系数 ，则②正确，③错误，
月份时， ， （万部），则④错误，
故答案为：①②
二、解答题
例2．（2022·全国·高二课时练习）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理
成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到
了高中生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取 名学生在一次考试中的数
学和物理成绩，如表：
编号
成绩
物理（ ）
数学（
）
(1)求数学成绩对物理成绩的线性回归方程 （ 精确到 ）．若某位学生的物理成绩为 分，
预测他的数学成绩；
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出 位参加一项知识竞赛，记其中数学成绩高于 分的学生人数为 ，
求 的分布列和数学期望．
参考公式： ， ．
参考数据： ， ．
【答案】(1) ，预测他的数学成绩为 分
(2)分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】
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