专题14 三角函数的应用-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）

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专题 14 三角函数的应用
一．三角函数的基础运用（共 12 小题）
1．在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C＝45°，sinB
¿1
3
，AD＝1．则 BC 的长　 2
❑
√
2+¿
1 　 ．
【分析】根据题意得到三角形 ABD 与三角形 ADC 都为直角三角形，由∠C的度数得到三角形
ACD 为等腰直角三角形，进而得到 DC＝AD＝1，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定
义求出 AB 的长，再利用勾股定理求出 BD 的长，由 BD+DC 求出 BC 的长即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD 中，∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴DC＝AD＝1，
在Rt△ABD 中，sinB
¿1
3
，AD＝1，
∴sinB
¿AD
AB =1
3
，即 AB＝3，
根据勾股定理得：BD
¿❑
√
32−12=¿
2
❑
√
2
，
则BC＝BD+DC＝2
❑
√
2+¿
1，
故答案为：2
1
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin∠CAM
¿3
5
，则 tan∠B的值为　
2
3
．
【分析】根据∠CAM 的正弦值，用未知数表示出 MC、AM 的长，进而可表示出 AC、BC 的长．
在Rt△ABC 中，求∠B的正切值．
【解答】解：Rt△AMC 中，sin∠CAM
¿MC
AM =3
5
，
设MC＝3x，AM＝5x，则 AC
¿❑
√
AM 2−MC2=¿
4x．
∵M是BC 的中点，∴BC＝2MC＝6x．
在Rt△ABC 中，tan∠B
¿AC
BC =4x
6x=2
3
．
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D为BC 上一点，AB＝5，BD＝1，tanB
¿3
4
．
（1）求 AD 的长；
（2）求 sinα的值．
【分析】（1）根据 tanB
¿3
4
，可设 AC＝3x，得 BC＝4x，再由勾股定理列出 x的方程求出 x，最
后放在 Rt△ACD 中由勾股定理求 AD；
（2）要求 sinα的值，想到把 α放在直角三角形中，所以过点 D作DE⊥AB，垂足为点 E，然后
放在直角三角形 BDE 中，利用 tanB的值求出 BE 与DE，进而求得结果．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanB
¿3
4
，AB＝5，
∴可设 AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或 x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD
¿❑
√
C D2+A C2=3❑
√
2
；
（2）过点 D作DE⊥AB 于点 E，
在Rt△BED 中，tanB
¿3
4
，
∴可设 DE＝3y，则 BE＝4y，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y
¿−1
5
（舍），或 y
¿1
5
，
∴
DE=3
5
，
∴sinα
¿DE
AD =
3
5
3❑
√
2
=
❑
√
2
10
．
4．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边 AB 上一点，且 tan∠DCB
¿3
5
．
（1）试求 cosB的值；
（2）试求△BCD 的面积．
【分析】（1）作 AE⊥BC 于E，如图，利用等腰三角形的性质得 BE＝CE＝4，然后利用余弦的
定义求解；
（2）作 DF⊥BC 于F，如图，先在 Rt△CDF 中利用正切的定义得到 tan∠DCF
¿DF
CF =3
5
，则可
设DF＝3x，CF＝5x，接着计算出 AE 得到 tanB
¿3
4
，所以在 Rt△BDF 中利用正切的定义得到
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