专题13 函数的单调性与奇偶性综合应用重难点突破（原卷版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 13 函数的单调性与奇偶性的综合应用

一、考情分析

二、经验分享

1．函数单调性的判断或证明

（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．

利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：

（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函

数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调

性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域

内．

（3）函数单调性的常用结论：

①若均为区间 A上的增（减）函数，则也是区间 A上的增（减）函数；

②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；

③函数在公共定义域内与，的单调性相反；

④函数在公共定义域内与的单调性相同．

2．单调性的应用

函数单调性的应用主要有：

（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判

断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质

转化到同一个单调区间上进行比较．

（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．

（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数

的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调

性外，还要注意衔接点．

（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然

后根据函数的单调性去掉“

”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函

数的定义域内．

3．求函数的最大（小）值

求函数最大（小）值的常用方法有：

（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；

（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；

（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；

（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．

注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．

（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，

但函数并不一定有最大（小）值．

4．判断函数的奇偶性

判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法：

（2）图象法：

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．

判断与的关系时，也可以使用如下结论：

如果或，则函数为偶函数；

如果或，则函数为奇函数．

5．函数奇偶性的应用

（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函

数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．

（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上

的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它

转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．

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