专题12 手拉手与一线三等角-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）

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专题 12 手拉手与一线三等角
一．手拉手相似模型（共 9小题）
1．如图，将△ABC 绕点 A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接 BB′、CC′，已知 AB＝c，AC
＝b，BC＝a，则 BB′：CC′等于（　　）
A．c：bB．a：bC．c：aD．b：c
试题分析：由旋转的性质可得 AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，由等腰三角形的性质可得
∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，可证△ACC'∽△ABB'，由相似三角形的性质可求解．
答案详解：解：∵将△ABC 绕点 A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，
∴△ACC'∽△ABB'，
∴BB′：CC′＝AB：AC＝c：b，
故选：A．
2．如图，∠1＝∠2＝∠3，AC，DE 交于 M，图中相似三角形共有（　　）
A．3对B．4对C．5对D．6对
试题分析：由 ∠2＝∠3， ∠AME ＝∠ DMC，利用有两角对应相等的三角形相似，可证得
△AME∽△DMC，继而可证得△BAC∽△DAE，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的
两个三角形相似，证得△ABD∽△ACE，继而可证得△AMD∽△EMC．
答案详解：解：∵∠2＝∠3，∠AME＝∠DMC，
∴△AME∽△DMC，
∴∠ACD＝∠AED，
∵∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴
AB
AD =AC
AE
，∠B＝∠ADE，
即
AB
AC =AD
AE
，
∵∠1＝∠2，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵∠AMD＝∠EMC，
∴△AMD∽△EMC．
∴图中相似三角形共有 4对．
故选：B．
3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P是对角线 AC 上的动点，连接 DP，将直线 DP 绕点
P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且 DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接 CG，则 CG 最小
值为（　　）
A．
❑
√
5
B．
6
5
C．
4
5
D．
36
25
试题分析：作DH⊥AC 于H，连接 HG 延 长 HG 交CD 于F， 作 HE⊥CD 于H，证明
△ADH∽△PDG，得∠DHG＝∠DAP＝定值，则点 G在射线 HF 上运动，故当 CG⊥HF 时，CG
的值最小，再证 FH＝FC＝DF＝1，可知 HE＝CG，利用等积法求出 HE 的长即可．
答案详解：解：如图，作 DH⊥AC 于H，连接 HG 延长 HG 交CD 于F，作 HE⊥CD 于E，
∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP＝∠DHA，
∵∠DPG＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDG，
∴
，∠ADH＝∠PDG，
∴∠ADP＝∠HDG，
∴△ADP∽△DHG，
∴∠DHG＝∠DAP＝定值，
∴点 G在射线 HF 上运动，
∴当 CG⊥HF 时，CG 的值最小，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，
∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝1，
在Rt△ADC 中，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，
由勾股定理得 AC＝2
❑
√
5
，
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