专题11 相似三角形的判定和性质的融合-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）

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专题 11 相似三角形的判定和性质的融合
一．相似三角形的性质（共 7小题）
1．如图，在 7×6 的正方形网格中，点 A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点
A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互
为相似的两个三角形及它们的相似比．
试题分析：连接 AB、BD、AD、AC，利用勾股定理求出各边的长，根据对应边成比例的两个三
角形相似即可求解．
答案详解：解：连接 AB、BD、AD、AC，
∵AB
¿❑
√
22+12=❑
√
5
，AC
¿❑
√
32+22=❑
√
13
，BC ＝4，CD ＝2，BD
¿❑
√
42+22=¿
2
❑
√
5
，AD
¿❑
√
32+42=¿
5，
∴
AD
BD =5
2❑
√
5=
❑
√
5
2
，
AB
CD =
❑
√
5
2
，
，
∴
AD
BD =AB
CD =BD
BC =
❑
√
5
2
，
∴△ABD∽△DCB，相似比
❑
√
5
2
．
2．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们
就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：
对角线 BD 是四边形 ABCD 的“理想对角线”．
（2）如图 2，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，当∠BCD 与∠BAD 满足什么关系时，对角线
AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”，请说明理由．
试题分析：（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论．
（2）如图 2中，当∠BAD
+1
2
∠BCD＝180°时，对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”．
证明△ACB∽△DCA，可得结论．
答案详解：（1）证明：如图 1中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC
¿1
2
∠ABC＝35°，
∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD 是四边形 ABCD 的“理想对角线”．
（2）解：如图 2中，当∠BAD
+1
2
∠BCD＝180°时，对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角
线”．
理由：∵AC 平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD
+1
2
∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴对角线 AC 是四边形 ABCD 的“理想对角线”．
3．如图，△ABC 中，点 D、E分别是 AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②
△ADE∽△ABC；③
AD
AE =AB
AC
．其中正确的有（　　）
A．3个B．2个C．1个D．0个
试题分析：由点 D、E分别是 AB、AC 的中点可知 DE 是△ABC 的中位线，由三角形的中位线定
理可得 DE∥BC，DE
¿1
2
BC，则 BC＝2DE，△ADE∽△ABC，于是有
AD
AB =AE
AC
，根据比例的性
质可得
AD
AE =AB
AC
，因此①、②、③都正确．
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