专题11 离散型随机变量的分布列及数字特征（重难点突破）原卷版 -【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

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专题 11 离散型随机变量的分布列及数字特征
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 离散型随机变量的分布列
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母
ξ、η等表示．
2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量．
3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型
随机变量．
4．分布列：设离散型随机变量 ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为 ，则称表
ξ x1x2…xi…
P P1P2…Pi…
为随机变量 ξ的概率分布，简称 ξ的分布列．
5．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：
0≤P(A)≤1
，并且不可能事件的概率为 0，必
然 事 件 的 概 率 为 1． 由 此 你 可 以 得 出 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 都 具 有 下 面 两 个 性 质 ： ⑴
⑵ ．
6．独立重复试验：在同样的条件下重复做的 次试验称为 次独立重复试验，每一次试验只有发生与不
发
生的结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.如果在一次试验
中 某 事 件 发生 的 概 率 是 P， 那 么 在 n次 独 立 重 复 试 验 中 这 个事 件 恰 好 发 生 k次 的 概 率 计 算公 式 ：
．
7．常见离散型随机变量的分布列
⑴两点分布：
X 0 1
P
1-P
P
⑵二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率是
Pn(ξ=k)=Cn
kpkqn−k
，（k＝0,1,2,…，n，
q=1−p
）．称随机变量 ξ服从二项分布．
记作 ξ～B(n，p)，其中 n，p为参数，并记
Cn
kpkqn−k
＝b(k；n，p)．
⑶超几何分布：在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则
},,min{,,1,0,)( nMmmk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
其中，
NMNn ,
．
称分布列
X 0 1 … m
P
…
为超几何分布列， 称 X服从超几何分布．
离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则
ba
也是一个随机变量.一般地，若 ξ是随机变量，
)(xf
是连续函数或单调函数，则
)(
f
也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量 ξ可能取的值为：
,,,,
21 i
xxx
ξ取每一个值
),2,1(
1
ix
的概率
ii
pxP )(
，则表称为随机变量 ξ的概率分布，简称 ξ的分布列.
1
x
2
x
…
i
x
…
P
1
p
2
p
…
i
p
…
有性质①
,2,1,0
1
ip
； ②
1
21
i
ppp
.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
]5,0[
即
可以
取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
考点二 离散型随机变量的的数字特征
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 ξ的概率分布为
1
x
2
x
…
i
x
…
P
1
p
2
p
…
i
p
…
则称
nn
pxpxpxE
2211
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离
散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴ 随机变量
ba
的数学期望：
baEbaEE
)(
①当
0a
时，
bbE )(
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当
1a
时，
bEbE
)(
，即随机变量 ξ与常数之和的期望等于 ξ的期望与这个常数的和.
③当
0b
时，
aEaE )(
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
⑵单点分布：
ccE 1
其分布列为：
cP )1(
.
⑶两点分布：
ppqE 10
，其分布列为：（p + q = 1）
ξ 0 1
P q p
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