专题11 二次函数的实际应用——销售利润（提高）-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 11 二次函数的实际应用——销售利润（提高）

【专题导入】

1. 商场某种商品进价为 120 元/件，售价 130 元/件时，每天可销售 70 件；售价单价高于 130 元时，

每涨价 1元，日销售量就减少 1件，据此，若商场每天盈利达 1500 元，求这种商品销售单价应为多

少？

【解析】设商场日盈利达到 1500 元时，每件商品售价为 x元，

则每件商品比 130 元高出（x-130）元，每件可盈利（x-120）元，

每日销售商品为 70-（x-130）=200-x（件），

依题意得方程（200-x）（x-120）=1500，

整理，得 x2-320x+25500=0，

解得：x1=150，x2=170．

2. 商场某种商品进价为 120 元/件，售价 130 元/件时，每天可销售 70 件；售价单价高于 130 元时，

每涨价 1元，日销售量就减少 1件，据此，若商场销售这种商品日获得最高利润，求该商品的销售

单价和最高利润.

【解析】设该商品日盈利为 y元，依题意得：

y=（200-x）（x-120）

=-x2+320x-24000

=-（x2-320x）-24000

=-（x-160）2+1600，

因为-1＜0，所以 x=160 时，y有最大值，最大值为 1600，

【方法点睛】

在学习一元二次方程时，我们已经掌握了解决问题的关键是找出等量关系列出等式，

由以上两题我们不难看出，对于二次函数的应用题来说，同样需要找出等量关系列出等式.两者不同

在于，方程通常是根据特定的数值列出的等式，函数则是用因变量 y代替.

【例 1】某公司研发了一种新产品，成本是 200 元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品

按拟定的价格进行销售，调查发现日销量 y（件）与单价 x（元/件）之间存在一次函数关系 y=-

2x+800（200＜x＜400）．

（1）要使新产品日销售利润达到 15000 元，则新产品的单价应定为多少元？

（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？

【解析】（1）根据题意得，（-2x+800）（x-200）=15000，

解得：x1=250，x2=350，

答要使新产品日销售利润达到 15000 元，则新产品的单价应定为 250 元或 350 元；

（2）设公司日销售获得的利润为 w元，

根据题意得，w=y（x-200）=（-2x+800）（x-200）=-2x2+1200x-160000=-2（x-300）2+340000，

∵-2＜0，

∴当x=300 时，获得最大利润为 340000 元，

答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为 300 元．

同步练习 1. 某销售商准备采购一批衣服，经调查，用 20000 元采购 A款服装的件数与用 16000 元

采购 B款服装的件数相等，一件 A款服装进价比一件 B款服装进价多 100 元．

（1）求一件 A、B款服装的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进 A、B款服装共 50 件，其中 A款的件数不大于 B款的件数，且不少于 16 件，设

购进 A款服装 m件．

①求m的取值范围．

②假设购进的 A、B款的衣服全部售出，据市场调研发现 A款服装售价 y与A的销售件数 m的关系

如图．若 B款服装售价为 600 元，则当 m为多少时，销售商能获得最大利润，最大利润为多少？

【解析】（1）设一件 A、B款服装的进价分别为 x元，（x-100）元，

根据题意得，

20 000

16 000

x−100

，

解得：x=500，

经检验 x=500 是原方程的根，

∴x-100=400.

答：一件 A、B款服装的进价分别为 500 元和 400 元.

（2）①由题意得，16≤m≤50-m，

解得：16≤m≤25；

② 设 A款服装售价 y与A的销售件数 m的关系式为 y=km+b，

∴

{

2k+b=780，

b=800 ，

解得：

{

k=−10，

b=800，

∴A款服装售价 y与A的销售件数 m的关系式为：y=-10m+800，

设销售利润 w元，

根据题意得，w=（-10m+800-500）m+（600-400）（50-m）

=-10m2+100m+10000

=-10（m-5）2+10250，

∵16≤m≤25，

∴当 m为16 时，销售商能获得最大利润，最大利润为 9 040 元．

【例 2】某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x天的成本 y（元/

件）与 x（天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售，第 x天该产品的销售

量z（件）与 x（天）满足关系式 z=x+15．

（1）第 25 天，该商家的成本是______元，获得的利润是______元；

（2）设第 x天该商家出售该产品的利润为 w元．

① 求 w与x之间的函数关系式；

② 求出第几天的利润最大，最大利润是多少？

【解析】（1）由图象可知，此时的产量为 z=25+15=40（件），

设直线 BC 的关系为 y=kx+b，

∴

{

20 k+b=30 ，

60 k+b=70 ，

∴

{

k=1，

b=10，

∴y=x+10.

故第 25 天，该商家的成本是：25+10=35（元）.

则第 25 天的利润为：（80-35）×40=1 800（元）.

故答案为：35，1 800.

（2）①当 0≤x≤20 时，w=（80-30）（x+15）=50x+750，

当20＜x≤60 时，w=[80-（x+10）]（x+15）=-x2+55x+1 050

∴w=

{

50 x+750

(

0≤ x ≤20

)

，

−x2+55 x+1 050

(

20 ＜x ≤ 60

)

②当 0≤x≤20 时

w=（80-30）（x+15）=50x+750，

当x=20 时，w最大 =1750 元；

当20＜x≤60 时，

w=-x2+55x+1 050

∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为 x=

∴当 x=27 或x=28 时，w=-272+55×27+1 050=1 806（元）

∵1 806＞1 750

∴第 27 天或 28 天的利润最大，最大为 1 806 元．

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