专题10平行四边形中的最值问题突破技巧（原卷版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 10 平行四边形中的最值问题突破技巧（原卷版）
第一部分 典例剖析及针对训练
技巧一 作对称点（将军饮马问题）
典例 1（2019•陕西二模）如图，正方形 ABCD 中，AB＝8，点 E、F分别在边 AB、BC 上，BE＝BF＝2，点
P是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PF 的最小值是　　．
针对训练 1
1．（2020 春•东西湖区期中）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，M、N分别是 BC、CD 上的
动点，P是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是（　　）
A．
9
5
B．
12
5
C．
16
5
D．
24
5
技巧二 取斜边中点
典例 2（2020 秋•天心区月考）如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 在∠MON 的内部，顶点 A，B分别在射线
OM，ON 上，AB＝4，BC＝2，则点 D到点 O的最大距离是（　　）
A．2
❑
√
2−
2 B．2
❑
√
2+¿
2 C．2
❑
√
5−
2 D．
1
针对训练 2
2．（2019 春•青山区期中）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2
❑
√
5
，AB＝4，O为边 AB 的中点，P为矩形
ABCD 外一动点，且∠APC＝90°，则线段 OP 的最大值为（　　）
A．5
+❑
√
3
B．3
+❑
√
5
C．4
❑
√
5−
2 D．2
❑
√
3+¿
1
技巧三 确定轨迹
典例 3（2021 秋•平顶山期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E为AB 的中点，F为EC 上一动
点，P为DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．
❑
√
2
D．2
❑
√
2
针对训练 3
3．（2015 春•江汉区期末）如图，线段 AB 长为 6cm，点 C是线段 AB 上一动点（不与 A，B重合），分别
以AC 和BC 为斜边，在 AB 的同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，点 P是DE 的中点，当点 C从距
离A点1cm 处沿 AB 向右运动至距离 B点1cm 处时，点 P运动的路径长是　 　 cm．
技巧四 作垂直构造直角三角形+作对称点（胡不归问题）
典例 4（2020 春•江汉区期末）如图，矩形 ABCD 中，BC
¿❑
√
3
，CD＝1，点 E是AC 上一动点，则 BE
+1
2
CE 的最小值为　　．
针对训练 4
4．如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点 P是直线 BD 上一动点，连接 PC，当 PC
+PB
2
的值最小
时，线段 PD 的长是（　　）
A．
4
3
❑
√
3
B．
2
3
❑
√
3
C．
2❑
√
3
D．
❑
√
3
技巧五 旋转构造全等（费马点问题）
典 例 5（2020 春•重庆期末）如图，矩形 ABCD 中 ， AB ＝2
❑
√
3
，BC ＝6，P为矩形内一点，连接
PA，PB，PC，则 PA+PB+PC 的最小值是（　　）
A．4
❑
√
3+¿
3 B．2
❑
√
21
C．2
❑
√
3+¿
6 D．4
❑
√
5
针对训练 5
典例 5（阆中市期末）如图，四边形 ABCD 是边长为
❑
√
2
的正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线
BD（不含 B点）上任意一点，将线段 BM 绕点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
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