专题10平行四边形中的最值问题突破技巧（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 10 平行四边形中的最值问题突破技巧（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
技巧一 作对称点（将军饮马问题）
典例 1（2019•陕西二模）如图，正方形 ABCD 中，AB＝8，点 E、F分别在边 AB、BC 上，BE＝BF＝2，点
P是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PF 的最小值是　　．
思路点拨：过E作AC 的垂线交 AD 于点 E′，连接 E′F交AC 于点 P，过 F作AD 的垂线交 AD 于点 G，
则E′F即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′＝6，GA＝BF＝2，即可求出 GE′的
长，再由勾股定理即可求出 E′F的长．
解：过 E作AC 的垂线交 AD 于点 E′，连接 E′F交AC 于点 P，过 F作AD 的垂线交 AD 于点 G，则 E′F即
为所求，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵EE′⊥AC，
∴△AEE′是等腰三角形，
∴AE＝AE′＝8 2﹣＝6，
∵GF⊥AD，
∴GA＝BF＝2，
∴GE′＝AE'﹣AG＝6 2﹣＝4，
在Rt△GFE′中，GE′＝4，GF＝8，
∴E′F
¿❑
√
E ′ G2+G F2=❑
√
42+82=4❑
√
5
．
故答案为：4
❑
√
5
点睛：本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
针对训练 1
1．（2020 春•东西湖区期中）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，M、N分别是 BC、CD 上的
动点，P是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是（　　）
A．
9
5
B．
12
5
C．
16
5
D．
24
5
思路点拨：根据勾股定理得到 AB
5，过 N作NQ⊥AB 于Q交BD 于P，过 P作PM⊥BC 于
M，则 PM+PN＝PN+PQ＝NQ 的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．
解：∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD，
∴AB
¿❑
√
32+42=¿
5，
过N作NQ⊥AB 于Q交BD 于P，
过P作PM⊥BC 于M，
则PM+PN＝PN+PQ＝NQ 的值最小，
∵S菱形 ABCD
¿1
2×
6×8＝5NQ，
∴NQ
¿24
5
，
即PM+PN 的最小值是
24
5
，
故选：D．
点睛：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的
关键．
技巧二 取斜边中点
典例 2（2020 秋•天心区月考）如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 在∠MON 的内部，顶点 A，B分别在射线
OM，ON 上，AB＝4，BC＝2，则点 D到点 O的最大距离是（　　）
A．2
❑
√
2−
2 B．2
❑
√
2+¿
2 C．2
❑
√
5−
2 D．
❑
√
2+¿
1
思路点拨：取AB 中点 E，连接 OE、DE、OD，求出 OE 和DE 值，利用三角形三边关系分析出当
O、E、D三点共线时，OD 最大为 OE+DE．
解：取 AB 中点 E，连接 OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，
∴OE
¿1
2
AB＝2．
在Rt△DAE 中，利用勾股定理可得 DE＝2
❑
√
2
．
在△ODE 中，根据三角形三边关系可知 DE+OE＞OD，
∴当 O、E、D三点共线时，OD 最大为 OE+DE＝2
❑
√
2+¿
2．
故选：B．
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