专题10 圆中相似三角形的常见模型-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（解析版）

3.0 envi 2025-05-18 38 4 774.69KB 24 页 3知币

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针对训练

1．（2018•广元）如图 1，D是⊙O的直径 BC 上的一点，过 D作DE⊥BC 交⊙O于E、N，F是⊙O上的一

点，过 F的直线分别与 CB、DE 的延长线相交于 A、P，连结 CF 交PD 于M，∠C＝P．

（1）求证：PA 是⊙O的切线；

（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为 4，DM＝1，求 PM 的长；

（3）如图 2，在（2）的条件下，连结 BF、BM；在线段 DN 上有一点 H，并且以 H、D、C为顶点的三角

形与△BFM 相似，求 DH 的长度．

[来源:Z§xx§k.Com]

【答案】（1）证明过程见解析. （2）4 2﹣．（3）或．

（2）解直角三角形求出 AD，PD 即可解决问题；

（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM 时，＝．

②当△CDH∽△MFB 时，＝，分别构建方程即可解决问题；

（1）证明：如图 1中，作 PH⊥FM 于H．

∵PD⊥AC，

∴∠PHM＝∠CDM＝90°，

∵∠PMH＝∠DMC，

∴∠C＝∠ MPH，

∵∠C＝ ∠FPM，

∴∠HPF＝∠HPM，

∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，

∴∠PFH＝∠PMH，

∵OF＝OC，

∴∠C＝∠OFC，

∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，

∴∠OFC+∠PFC＝90°，

∴∠OFP＝90°，

∴直线 PA 是⊙O的切线．

∵⊙O的半径为 4，DM＝1，

∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，学&科网

（3）如图 2中，

由（2）可知：BF＝BC＝4，FM＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，

∴FM＝FC﹣CM＝4 2﹣，

①当△CDH∽△BFM 时，＝，

∴ ＝，

∴DH＝

②当△CDH∽△MFB 时，＝，

∴ ＝，

∴DH＝，

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