专题10 锐角三角函数—作垂线解三角形 -2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 10 锐角三角函数——作垂线解三角形
【方法点睛】
遇到非直角三角形要求与三角函数有关的题目，通常需要作垂直构造出“直角三角形环境”进行解答.而构
造出的直角三角形，往往跟以下内容相关：
①30°、45°、60°、120°、135°、150°角；
②等面积法.
【例 1】 如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边 BC 的长为 6．求 AB,AC 的长.
【解析】如图，作 CD⊥AB 于点 D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴BD=CD＝3
❑
√
2
.
在Rt△ACD 中，∠ACD＝75° 45°﹣＝30°，
∴AD=DC·tan 30°=
❑
√
6
，AC=
DC
cos 30 °
=2
❑
√
6
.
AB=BD+AD=3
❑
√
2
+
❑
√
6
.
故AB=3
❑
√
2
+
❑
√
6
，AC=2
.
同步练习 1.如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，∠A=120°，求 BC 的长．
【解析】作 CD⊥AB，交 BA 的延长线于点 D，
则∠CDA=90°，
∵∠CAB=120°，
∴∠CAD=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AC=4，
∴AD=2，CD=2
❑
√
3
，
∵∠CDB=90°，AB=2，
∴DB=DA+AB=4，
∴BC=
❑
√
DB2+CD2
＝
❑
√
42+（2❑
√
3）2
=2
❑
√
7
．
【例 2】△ABC 在网格中按如图所示放置，则 sinA的值是____.
【解析】过点 B作BD⊥AC，垂足为 D．
在Rt△AEC 中，AC＝
❑
√
AE 2+CE2
＝
❑
√
32+62
＝3
❑
√
5
，
在Rt△AEB 中，AB＝
❑
√
AE 2+BE2
＝
❑
√
32+12
=
❑
√
10
，
∵S△ABC＝
1
2
BC×AE
＝
1
2
×5×3
＝
15
2
，
又∵S△ABC＝
1
2
AC×BD
＝
1
2
×3
❑
√
5
×BD，
∴
1
2
×3
❑
√
5
×BD＝
15
2
．
∴BD＝
❑
√
5
．
∴sinA＝
BD
AB
＝
❑
√
5
❑
√
10
＝
❑
√
2
2
．
同步练习 2. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cos∠ACB 等于　　．
【解答】解：作 CD⊥AB 于点 D，作 AE⊥BC 于点 E，
由已知可得，AC＝
❑
√
12+32
＝
❑
√
10
，AB＝5，BC＝
❑
√
32+42
＝5，CD＝3，
∵
AB·CD
2
=
BC·AE
2
，
∴
5×3
2
=
5× AE
2
，
解得 AE＝3，
∴CE＝
❑
√
AC 2−AE2
＝
❑
√
（❑
√
10）2−32
＝1，
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