专题10 几何模型之与正方形有关的三垂线问题专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年八年级数学下册专题训练（苏科版）

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专题 10 几何模型之与正方形有关的三垂线问题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在正方形 中，点 G为 边上一点，以 为边向右作正方形 ，连接 ， 交
于点 P，连接 ，过点 F作 交 于点 H，连接 ，交 于点 K，下列结论中错误的是（
）
A．B． 是等腰直角三角形
C．点 P为 中点 D．
【标准答案】D
【思路指引】
A．证明四边形 BHFG 为平行四边形，得 BH=GF=CE，得 BC=HE，再由正方形的性质得 HE=CD，进而
便可判断选项正误；B．证明△ABH≌△HEF，进而得出△AHF 是等腰直角三角形，便可判断选项正误；
C．过 H作HM⊥BC，HM 与BD 交于点 M，连接 MF，证明四边形 EFMH 为矩形，再证明
△PAD≌△PFM 得AP=FP，便可判断选项正误；D．将△ADP 绕点 A顺时针旋转 90，得△ABQ，连接
QK，证明△AQK≌△APK 得AK=PK，进而得 BK2+DP2=KP2，便可判断正误．
【详解详析】
解：A．∵四边形 CEFG 是正方形，
∴GF∥CE，GF=CE，
∵BG∥HF，
∴四边形 BHFG 为平行四边形，
∴GF=BH，
∴BH=CE，
∴BC=HE，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴BC=CD．
∴HE=CD，故 A正确；
B．∵ABCD 是正方形，CEFG 是正方形，
∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，
∵BC=HE，BH=CE，
∴AB=HE，BH=EF，
∴△ABH≌△HEF（SAS），
∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，
∵∠BAH+∠AHB=90°，
∴∠EHF+∠AHB=90°，
∴∠AHF=90°，
∴△AHF 为等腰直角三角形，故 B正确；
C．过 H作HM⊥BC，HM 与BD 交于点 M，连接 MF，则 MH∥EF，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，∠HBD=∠ABC，
∴∠HBM=45°，
∴BH=MH，
∵△ABH≌△HEF，
∴BH=EF，
∴MH=EF，
∴四边形 EFMH 为矩形，
∴MF∥BE∥AD，MF=HE，
∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，
∵AD=BC=HE，
∴AD=MF，
∴△PAD≌△PFM（ASA），
∴AP=FP，故 C正确；
D．将△ADP 绕点 A顺时针旋转 90，得△ABQ，连接 QK，则 AQ=AP，∠QAP=90°，
∵△AHF 是等腰直角三角形，
∴∠HAF=45°，
∴∠QAK=∠PAK=45°，
∵AK=AK，
∴△AQK≌△APK（SAS），
∴QK=PK，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，
∴∠QBK=90°，
∴BK2+BQ2=QK2，
∴BK2+DP2=KP2，故 D错误；
故选：D．
【名师指路】
本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，
等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角
形．
2．如图，四边形 AFDC 是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线， ，则图中
阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【标准答案】C
【思路指引】
易证△AEC FBA≌△ ，得 AB=EC，即可求得．
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