专题10 函数的三要素重难点突破（原卷版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 10 函数的三要素

一、考情分析

二、经验分享

【重难点 1．函数的定义域】

当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域

的一般方法有：

①分式的分母不为 0；

②偶次根式的被开方数非负；

③ 要求；

④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义

的公共部分的集合；

⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；

⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；

⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．

名师提醒：

（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符

号“∪”连接．

（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的

方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种

思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从

而获解．

【重难点 2．求函数值或函数的值域】

（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的

，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字

母应满足函数的定义域要求．

求函数值应遵循的原则：

①已知的表达式求时，只需用

替换表达式中的

．

②求的值应遵循由里往外的原则．

③用来替换表达式中

的数

必须是函数定义域内的值．

（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方

法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数

的值域是不同的；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值

域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后

仅出现在分母上，这样

对函数的影响就比较清晰了；

④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后

利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换

元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．

【重难点 3．函数解析式的求法】

（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．

（2）已知

（

））=

（

），求

（

），常用的有两种方法：

①换元法，即令

（

），解出

，代入

（

）中，得到一个含

的解析式，即为所求解析式；

②配凑法，即从

（

））的解析式中配凑出“

（

）”，即用

（

）来表示

（

），然后将解析式中

的

（

）用

代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意

（

）的取值范围的限定．

（3）已知

（

）与

（

））满足的关系式，要求

（

）时，可用

（

）代替两边所有的

，得到关于

（

）与

（

））的方程组，消去

（

））解出

（

）即可．常见的有

（

）与

（

−x

），

（

）与

．

（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，

再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．

三、题型分析

（一）．函数的定义域

考点 1.具体函数的定义域

例 1．（1）（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）函数的定义域是（）

A．B．C．D．

（2）．（2020·上海高一专题练习）函数的定义域是（）

A．B．

C．D．且

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