专题10 分式方程的应用（解析版）-2019-2020学年八年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)

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八下数学思维解法技巧培优小专题

专题 10 分式方程的应用

题型一分式方程与方程（组）的综合

【典例 1】（2019•信丰县模拟）2019 中国北京世界园艺博览会于 2019 年4月29 日至 10 月7日在北京市延

庆区举办，预售期门票价格有“平日票”和“推定日票”两种，其中平日票的单价比指定日票的单价少

40 元1张，某学校计划组织学生去参观，用 9600 元购买的平日票的票数与用 12800 元购买的旅定日票

的票数相等．

（1）求该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是多少元？

（2）若两种票共购买了 200 张，且购买的总费用是 28800 元，求购买了多少张平日票？

【点拨】（1）设指定日票的单价为 x元，表示出平日票的单价，根据题意列出方程，求出方程的解即

可得到结果；

（2）设购买平日票 y张、指定日票（200﹣y）张，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【解析】解：（1）设指定日票的单价为 x元，则平日票的单价为（x40﹣）元，

根据题意得：

9600

x−40 =12800

，

去分母得：9600x＝12800x512000﹣，

解得：x＝160，

经检验 x＝160 是分式方程的解，

∴x40﹣＝160 40﹣＝120，

则该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是 120 元，160 元；

（2）设购买平日票 y张、指定日票（200﹣y）张，

根据题意得：120y+160（200﹣y）＝28800，

解得：y＝80，

则购买了 80 张平日票．

【典例 2】（2019•余姚市期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 1所示的长方形和正方形纸板

（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图 2所示的竖式和横式两种无盖的长方体

纸箱．（加工时接缝材料不计）

（1）若该厂仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰

好将库存的两种纸板全部用完？

（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱 2400 个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原

计划的 1.5 倍，这样提前 2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？

【点拨】（1）设加工竖式纸箱 x个，横式纸箱 y个，根据加工两种纸箱共用 1000 张正方形纸板和 2000

张长方形纸板，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设原计划每天加工纸箱 a个，则实际每天加工纸箱 1.5a个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结

合时间比原计划提前 2天完成了任务，即可得出关于 a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解析】解：（1）设加工竖式纸箱 x个，横式纸箱 y个，

依题意，得：

{

4x+3y=2000

x+2y=1000

，

解得：

{

x=200

y=400

．

答：加工竖式纸箱 200 个，横式纸箱 400 个．

（2）设原计划每天加工纸箱 a个，则实际每天加工纸箱 1.5a个，

依题意，得：

2400

a−2400

1.5 a=¿

2，

解得：a＝400，

经检验，a＝400 是所列分式方程的解，且符合题意．

答：原计划每天加工纸箱 400 个．

题型二分式方程与不等式（组）的综合

【典例 3】（2019•沈阳）2019 年3月12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙

两种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树

苗每棵少 6元．

（1）求甲种树苗每棵多少元？

（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

【点拨】（1）根据题意列出分式方程求解即可；

（2）根据题意列出不等式求解即可．

【解析】解：（1）设甲种树苗每棵 x元，根据题意得：

800

x=680

x−6

，

解得：x＝40，

经检验：x＝40 是原方程的解，

答：甲种树苗每棵 40 元；

（2）设购买乙种树苗 y棵，根据题意得：

40（100﹣y）+34y≤3800，

解得：y≥33

，

∵y是正整数，

∴y最小取 34，

答：至少要购买乙种树苗 34 棵．

【典例 4】（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B两种型号的机器．已知一

台A型机器比一台 B型机器每小时多加工 2个零件，且一台 A型机器加工 80 个零件与一台 B型机器加

工60 个零件所用时间相等．

（1）每台 A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排 A，B两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要

求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零

件不能超过 76 件，那么 A，B两种型号的机器可以各安排多少台？

【点拨】（1）设每台 B型机器每小时加工 x个零件，则每台 A型机器每小时加工（x+2）个零件，根据

工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台 A型机器加工 80 个零件与一台 B型机器加工 60 个零件所用时

间相等，即可得出关于 x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设 A型机器安排 m台，则 B型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量＝8×A型机器

的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于 72 件且不能超过 76 件，即可得出关于 m的一

元一次不等式组，解之即可得出 m的取值范围，再结合 m为正整数即可得出各安排方案．

【解析】解：（1）设每台 B型机器每小时加工 x个零件，则每台 A型机器每小时加工（x+2）个零件，

依题意，得：

x+2=60

，

解得：x＝6，

经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，

∴x+2＝8．

答：每台 A型机器每小时加工 8个零件，每台 B型机器每小时加工 6个零件．

（2）设 A型机器安排 m台，则 B型机器安排（10﹣m）台，

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